Étude d'un complexe du sixième ordre. (Q1535862)

Der hier betrachtete Complex besteht aus den Directrices der ebenen Schnitte einer gegebenen Fläche zweiter Ordnung. Zunächst werden die geometrischen Betrachtungen angestellt, welche der analytischen Behandlung zur Grundlage dienen. Nach Laguerre ist der eine reelle oder imaginäre Strecke ``repräsentirende Kreis'' derjenige Kreis, in welchem die zwei Kugeln, deren Radien gleich Null sind und die Endpunkte der Strecke zu Mittelpunkten haben, (abgesehen von dem unendlich fernen Kugelkreis) sich schneiden. Dieser Kreis ist reell, wenn die Endpunkte der Strecke conjugirt imaginär sind, und ist imaginär, wenn diese Endpunkte reell sind. Die Ebene des Kreises ist beidemal reell. Der Verfasser benutzt den folgenden Satz: Damit eine im Endlichen gelegene Gerade \(D\), welche weder Tangente der Fläche noch isotrop ist, Directrix eines ebenen Schnittes der Fläche sei, ist notwendig und hinreichend, dass der repräsentirende Kreis der von den Schnittpunkten der Fläche mit \(D\) begrenzten Strecke von der Polaren \(\varDelta\) der Geraden \(D\) hinsichtlich der Fläche geschnitten wird. Dieser Schnittpunkt ist der zu der Directrix \(D\) gehörende Brennpunkt des in der verbindenden Ebene gelegenen Kegelschnittes der Fläche. Ferner wird gezeigt, dass der Complex sieben Strahlenbündel doppelt enthält, deren Mittelpunkte sämtlich im Unendlichen liegen. Drei derselben sind die unendlich fernen Punkte der Hauptaxen der Fläche, die vier übrigen die Schnittpunkte der Fläche mit dem unendlich fernen Kugelkreis. Mit diesen Hülfsmitteln geht der Verfasser an die Aufstellung der Gleichung eines Complexkegels, für welchen gefunden wird: \[ H.K = J.L^2, \] wobei \(H = 0, J = 0, L = 0\) Kegel zweiter Ordnung, \(K = 0\) einen Kegel vierter Ordnung darstellen. Der Complex ist also sechsten Grades. Die Klasse eines Complexkegels ist 16. Liegt die Spitze des Kegels unendlich weit, so geht er in einen Cylinder zweiten Grades über, da die unendlich ferne Ebene viermal austritt. Die ebenen Complexcurven sind \(6^{\text{ter}}\) Klasse und \(10^{\text{ter}}\) Ordnung. Ist die Ebene parallel einer Hauptaxe der Fläche, so ist die Complexcurve ein zum ebenen Schnitte mit der Fläche confocaler Kegelschnitt.