Sur les accélérations d'ordre quelconque dans le mouvement d'une figure plane dans son plan. (Q1535911)

Ein ebenes starres System bewege sich in seiner Ebene und sei auf die festen Axen \(OX\) und \(OY\) bezogen. Ein Punkt \(M\) des Systems habe zur Zeit \(t\) die Coordinaten \(x, y\); die Coordinaten des augenblicklichen Drehungscentrums \(c\) seien \(\alpha, \beta\) und \(\omega\) sei die Winkelgeschwindigkeit, welche positiv im Sinne von \(OY\) gegen \(OX\) gerechnet werden möge. Die Componenten der Geschwindigkeit \(v\) des Punktes \(M\) sind alsdann gegeben durch \[ v_x = \omega (y - \beta); \quad v_y = - \omega (x - \alpha). \] Bildet man wiederholt die Ableitungen nach \(t\), so stellen sich die Componenten der Beschleunigung \((n - 1)^{\text{ter}}\) Ordnung in den Formen dar: \[ j_{n - 1,x} = p_{n - 1} (x - \alpha) + q_{n - 1} (y - \beta) + J_{n - 1, x}, \] \[ j_{n - 1,y} = p_{n - 1} (y - \beta) - q_{n - 1} (x - \alpha) + J_{n - 1, y}. \] Hierin sind die Grössen \(p_{n - 1}, q_{n - 1}, J_{n - 1,x}, J_{n - 1, y}\) von der Lage des Punktes \(M\) unabhängig, und zwar bedeuten die letzten beiden die Beschleunigungscomponenten \((n - 1)^{\text{ter}}\) Ordnung für das Drehungscentrum \(C\), wenn es mit dem beweglichen System verknüpft gedacht wird. Eine abermalige Differentiation obiger Gleichungen führt auf die Beschleunigungscomponenten \(n^{\text{ter}}\) Ordnung. In die Ausdrücke für \(j_{n,x}\) und \(j_{n,y}\) gehen die Grössen ein \(\frac{d \alpha}{dt}, \frac{d \beta}{dt}\); sie sind die Componenten der Geschwindigkeit \(w\), mit welcher das augenblickliche Drehungscentrum in der festen Ebene fortrückt oder die feste Polbahn durchläuft. Bedeuten die mit einem Accent versehenen Grössen die Ableitung nach der Zeit, und setzt man \[ (1) \quad p_n = p_{n - 1}' - q_{n - 1} \omega ; \quad q_n = q_{n - 1}' + p_{n - 1} \omega, \] \[ (2) \quad \begin{cases} J_{n,x} = \frac{dJ_{n - 1,x}}{dt} - p_{n - 1} w_x - q_{n - 1} w_y;\\ J_{n,y} = \frac{dJ_{n - 1,y}}{dt} - p_{n - 1} w_y + q_{n - 1} w_x,\end{cases} \] so erhalten die Beschleunigungen \(n^{\text{ter}}\) Ordnung die Form \[ (3) \quad \begin{cases} j_{n x} = p_{n} (x - \alpha) + q_{n} (y - \beta) + J_{nx},\\ j_{ny} = p_{n} (y - \beta) - q_{n} (x - \alpha) + J_{ny}.\end{cases} \] Diese Ausdrücke entsprechen genau den Formen für die Beschleunigungscomponenten \((n - 1)^{\text{ter}}\) Ordnung, und die Grössen \(p_n, q_n, J_{nx}, J_{ny}\) sind in recurrenter Form, wie angegeben, zu bestimmen. Für \(n = 0\) ist \(j_{0x} = v_x\); \(j_{0y} = v_y\); \(p_0 = 0\); \(q_0 = \omega\); \(J_{0x} = 0\); \(J_{0y} = 0\); aus diesen Werten bestimmt man nach den obigen recurrenten Formeln \[ p_1 = - \omega^2 ; \quad q_1 = \omega'; \quad J_{1x} = - \omega w_y; \quad J_{1y} = \omega . w_x \] und gewinnt \[ j_{1x} = - \omega^2 (x - \alpha) + \omega' (y - \beta) - \omega w_y, \] \[ j_{1y} = - \omega^2 (y - \beta) - \omega' (x - \alpha) + \omega w_x. \] Aus diesen Componenten der Beschleunigung erster Ordnung sind alsdann die Beschleunigungen höherer Ordnung nach den aufgestellten Gesetzen weiter abzuleiten. In den obigen Gleichungen ist also die Grundlage für die Theorie der Beschleunigungen höherer Ordnung gegeben. Sie erweisen sich als höchst fruchtbar zur Entwickelung dieser Theorie. Durch die einfachsten Schlüsse gelangt der Verfasser zu der Bedeutung des augenblicklichen Centrums der Beschleunigungen \(n^{\text{ter}}\) Ordnung. Wird dasselbe \(C_n\) genannt, und sind seine Coordinaten \(\alpha_n, \beta_n\), so stellen sich die Beschleunigungscomponenten \(n^{\text{ter}}\) Ordnung in den einfachen Formen dar \[ (4) \quad \begin{cases} j_{nx} = p_{n} (x - \alpha_n) + q_{n} (y - \beta_n),\\ j_{ny} = p_{n } (y - \beta_n) - q_{n} (x - \alpha_n);\end{cases} \] und diese zeigen, wenn mit \(u_n\) der Richtstrahl von \(C_n\) nach \(M\) bezeichnet wird, dass die Beschleunigung \(j_n\) des Punktes \(M\) sich zusammensetzt 1) aus einer Beschleunigung, welche gegen das Centrum \(C_n\) gerichtet ist und den Wert \(- p_n u_n\) hat, 2) aus einer Beschleunigung \(q_n u_n\) hat, 2) aus einer Beschleunigung \(q_n u_n\), welche senkrecht gegen \(C_n M\) in dem Sinne gerichtet ist, in welchem die Rotation \(\omega\) statthat. Die Beschleunigung \(j_n\) des Punktes \(M\) ist also dieselbe in Grösse und Richtung, als wenn die ebene Figur sich um den Punkt \(C_n\), wie um einen festen Punkt, mit ihrer veränderlichen Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) drehte. Besondere Einfachheit und Durchsichtigkeit gewinnen die obigen Gleichungen durch Einführung der imaginären Zahl \(i = \sqrt{- 1}\). Setzt man nämlich \(p_n + iq_n = P_n e^{iQ_n} = V_n\), so folgt aus (1) \(V_n = V_{n - 1}' + V_{n - 1} \omega i\), worin der Accent wieder die Ableitung nach \(t\) bedeutet. Aus dieser recurrenten Formel ist alsdann die Grösse \(V_n\) und somit \(P_n, Q_n\) und \(p_n, q_n\) bestimmbar. In derselben Art werden die Gleichungen (2) durch eine Formel ersetzt, deren geometrische Interpretation auf die Construction von \(J_n\) führt. Die Gleichungen (4) vereinigen sich in die Formel \[ j_{nx} + ij_{ny} = (p_n - iq_n) \; [( x - \alpha_n) + i (y - \beta_n) ] = P_n u_n e^{(\vartheta_n - Q_n)^i}, \] wo \(\vartheta_n\) den Winkel bedeutet, welchen \(C_n M = u_n\) mit der \(x\)-Axe bildet. Bezeichnet daher \(\overline{j_n x}\) den Winkel, welchen \(j_n\) mit der \(x\)-Axe einschliesst, so folgt: \[ j_n = P_n u_n; \quad \overline{j_n x} = \vartheta_n - Q_n. \] Es ist also mit Hülfe des augenblicklichen Beschleunigungscentrums \(C_n\) und den nach oben bestimmbaren Grössen \(P_n\) und \(Q_n\) die Beschleunigung \(j_n\) eines beliebigen Punktes \(M\) nach Grösse und Richtung construirbar. Besonders einfach werden die Ergebnisse, wenn man die Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) als constant voraussetzt. Diese Annahme ist unter dem Gesichtspunkt der kinematischen Geometrie immer zulässig, da die Lagenfolge der beweglichen Figur in jedem Moment nur von dem Quotienten \(\frac{w}{\omega}\) abhängt. In diesem Falle vereinfachen sich die letzten Gleichungen zu \[ j_n = \omega^{n + 1} u_n ; \quad \overline{j_n x} = \varTheta_n - \frac{n + 1}{2}\;\pi. \] Die erste giebt die Grösse der Beschleunigung, die zweite ihre Richtung an. Wie man sieht, hat man den Richtstrahl \(C_n M\) um \(n + 1\) rechte Winkel im Sinne der Rotation \(\omega\) um \(C_n\) zu drehen, um die Richtung der Beschleunigung zu erhalten. Einige auf den Gegenstand bezügliche allgemeinere Bemerkungen, auf die hier nicht näher eingegangen werden kann, schliessen die interessante Abhandlung.