Recherches sur les accélérations en général. (Q1535912)

Untersuchung der Beschleunigungen erster Ordnung bei der Bewegung eines starren Körpers; hierbei gelangt der Verfasser durch eine geschickte Benutzung der Analysis und ebenso der geometrischen Darstellungen auf einfache Weise zu einer grossen Zahl alter oder auch neuer Sätze. Uebersicht. 1. Winkelbeschleunigung. 2. Allgemeine Eigenschaften der Beschleunigungen der Punkte eines starren Körpers, von welchem ein Punkt fest ist. 3. Geometrische Anordung und Construction der Beschleunigungen bei einem Körper, der einen festen Punkt hat. 4. Tangentiale und normale Beschleunigungscomponente. 5. Beschleunigung der Punkte eines freien Körpers. 6. Geometrische Erforschung der Beschleunigungen der Punkte eines freien Körpers. Folgendes sind die bemerkenswertesten Sätze, zu denen Hr. Gilbert in dieser Arbeit gekommen ist: 1. Bei der Bewegung eines freien Körpers um einen festen Punkt geben in jedem Augenblicke 1) das geometrische Product aus der Resultante der bewegenden Kräfte mit der augenblicklichen Drehungsaxe und das geometrische Product aus der Winkelbeschleunigung mit der gesamten Bewegungsgrösse die Summe Null; 2) das geometrische Product der augenblicklichen Drehungsaxe mit der Axe des bewegenden Paares ist gleich dem geometrischen Producte aus der Winkelbeschleunigung mit der Axe des Moments der Bewegungsgrössen, wobei der Reductionspunkt im festen Punkte liegt. 2. Wenn der Körper frei ist, so ist die oben unter 1) angegebene Summe gleich der Masse des Körpers, multiplicirt mit der nach der Zeit genommenen Ableitung des Productes der Drehungs- und der Gleitungs-Geschwindigkeit. Satz 2) bleibt bestehen, wenn der Reductionspunkt im Schwerpunkte des Körpers liegt, oder auch im Centralpunkte der Mozzi'schen Axen, während sich der Schwerpunkt in der Hauptebene befindet (Ebene, durch die augenblickliche Axe und die Winkelbeschleunigung gelegt). 3. Als Hauptrichtungen wähle man 1) die augenblickliche Axe \(OZ\), 2) die Projection \(OX\) der Winkelbeschleunigung auf die Normalebene zu \(OZ\), 3) die zu \(OX\) und \(OZ\) senkrechte Gerade. Dann bilden diese Richtungen ein rechtwinkliges System. Man bezeichne mit \(j_x, j_y, j_z\) die Beschleunigungscomponenten eines beliebigen Punktes \(M\) des Körpers parallel zu \(OX, OY, OZ\). Die Richtungen \(OX'\) der Winkelbeschleunigung, \(OY'\) der augenblicklichen Axe, \(OZ'\) der Geraden, welche der Ort der Punkte ist, deren Beschleunigung parallel zur augenblicklichen Axe ist, bilden ein System conjugirter Durchmesser \(2a', 2b', 2c'\) des Ellipsoids gleicher Beschleunigung. (W. Schell). Sind \(x', y', z'\) die Coordinaten von \(M\) in Bezug auf \(OX', OY', OZ'\), so bestehen die Beziehungen: \[ j_x = - \frac{x'}{a'}, \quad j_y = - \frac{y'}{b'}, \quad j_z = - \frac{z'}{c'}\,. \] Daraus folgt eine einfache Construction des Punktes \(M\). 4. Sind \(\omega\) die Winkelgeschwindigkeit der augenblicklichen Rotation, \(\lambda_N\) die Componente der Winkelgeschwindigkeit senkrecht zur augenblicklichen Axe, so construire man einen die Hauptebene längs der Axe berührenden Cylinder, der zum senkrechten Querschnitte einen Kreis vom Durchmesser \(\lambda_N\) hat. Der vom festen Punkte \(O\) nach einem beliebigen Punkte \(M\) des Körpers gezogene Strahl trifft diesen Cylinder in einem Punkte \(E\). Von \(E\) aus trage man auf der Erzeugenden des Cylinders im positiven Sinne der Rotation eine constante Länge \(EF = \omega^2\) ab. Die Gerade \(OF\) ist die Krümmungsaxe für die Bahn eines beliebigen Punktes \(M\) von \(OE\); \(MC\), senkrecht zu \(OF\), ist die Hauptnormale, \(C\) der Krümmungsmittelpunkt dieser Bahn.