Ueber den einfachsten Gelenkmechanismus zur Erzeugung einer beiderseits zu einer Axe symmetrischen Bewegung. (Q1535920)

Der Mechanismus ist ein Kurbelgetriebe \(CBAO\), deren ``Koppel'' \(BA\) gleiche Länge mit dem Arme \(CB\) hat; der andere Arm \(OA\) und der ``Steg'' \(CO\) haben die Längen \(r.\overline{BA}\) und \(L.\overline{BA}\). Die erforderliche Bewegung wird durch einen mit der Koppel fest verbundenen Punkt \(M\) ausgeführt, welcher von \(C\) um die Länge \(\overline{BM} = \overline{BA} = \overline{CB}\) entfernt ist, und dabei hat der Winkel \(ABM\) eine constante Grösse \(\omega\). Im Anfange seiner Abhandlung beweist der Verfasser, 1) dass die Bahn des Punktes \(M\) symmetrisch ist in Bezug auf die Axe \(CM_0\), welche durch \(C\) und durch diejenige Lage \(M_0\) des Punktes \(M\) geht, in der er sich befindet, wenn der Arm \(OA\) in der Lage \(OA_0\) auf der Verlängerung von \(CO\) liegt, 2) dass bei einem vollständigen Bewegungscyklus des Kurbelgetriebes \(CBAO\) der (mit \(\varphi\) bezeichnete) Winkel \(ABC\) sich zwischen den Grenzen \(\varphi_0\) und \(\varphi_1\) bewegt, wo \(\varphi_0\) den Winkel \(A_0 B_0 C\) bei der Lage \(OA_0\) des Arms \(OA (L + r = 2 \sin \tfrac 12 \varphi_0)\) bedeutet und \(\varphi_1\) der Wert des Winkels \(ABC\) bei den Grenzlagen (Positionen) \(OA_1\) und \(OA'\) des Arms \(OA\), welche mit der Richtung \(OA_0\) die Winkel \(+ \alpha\) und \(- \alpha\) bilden, ist. \((4 \sin^2 \tfrac 12 \varphi_1 = L^2 + r^2 + 2 Lr \cos \alpha)\). Wenn dieser Arm sich stetig um \(O\) drehen kann, so ist der Winkel \(\alpha\) gleich \(\pi\). Danach steckt der Verfasser sich das Ziel, diejenigen Werte von \(\omega, r\) und \(L\) zu finden, bei welchen die Bahn des Punktes \(M\) sich möglichst wenig von einem Kreisbogen unterscheidet, dessen Radius \(R\) ist, und dessen Mittelpunkt in \(O_1\) auf der Axe \(CM_0\) liegt. Dazu ist erforderlich, dass die Differenz \(\overline{O_1 M^2} - R^2\), welche der Verfasser folgendermassen als Function von \(\varphi\) darstellt: \[ \overline{O_1 M}^2 - R^2 = K f(x), \] wo \[ x = \sin^2 \frac{\varphi}{2}, \quad f(x) = (p_1 x + 1) \sqrt{\frac{1 - x}{x}} + p_2 x + p_3, \] \[ p_1 = \tfrac{4}{u} (L \sin \omega + \overline{O_1 C} \sin \tfrac 12 \omega), \] \[ p_2 = - \tfrac{4}{u} (L \cos \omega + \overline{O_1 C} \cos \tfrac 12 \omega), \] \[ p_3 = \tfrac{1}{u} [( R^2 - 4 \sin^2 \tfrac 12\, \omega - \overline{O_1 C}L- \overline{O_1C}(L^2 - r^2) \cos \tfrac 12\, \omega ], \] \[ u = \overline{O_1 C} (L^2 - r^2) \sin \tfrac 12 \omega \] gesetzt ist, bei allen zwischen den Grenzen \(x_0 = \sin^2 \tfrac 12 \varphi_0\) und \(x_1 = \sin^2 \tfrac 12 \varphi_1\) liegenden Werten von \(x\) möglichst wenig von Null abweiche. Eine allgemeine Methode, um Fragen über die Bedingungen, bei welchen eine gegebene Function \(f(x)\) möglichst wenig von Null abweicht, zu lösen, ist vom Verfasser in seiner Abhandlung: Sur les questions de minima qui se rattachent à la représentation approximative des fonctions (Mémoidres de l'Académie Impériale des Sciences de St.-Pétersbourg, 1858, \(6^{\text{me}}\) Série, Sciences math. et phys. T. VII) gegeben. Indem der Verfasser seine Methode auf den vorliegenden Fall anwendet, findet er, dass die gesuchte Bahn, welche von zwei concentrischen Grenzkreisen, deren Halbmesser \(\overline{O_1 M_0} = R_0\) und \(\overline{O_1 M_1} = R_1\) sind, eingeschlossen wird, den ersten dieser Kreise in drei Punkten berühren muss, von denen der eine dem Werte \(\varphi = \varphi_0\) und zwei dem Werte \(\varphi_2\): \[ \varphi_2 = 2 \text{arc\,} \text{cotg} \left\{ \frac{1}{\sin \frac 14 (\varphi_0 - \varphi_1)} \left[ \sqrt{\frac{\sin \frac 12 \varphi_0}{\sin \frac 12 \varphi_1}} - \cos \tfrac 14 (\varphi_0 - \varphi_1) \right] \right\} \] entsprechen, und dass sie den zweiten, dessen Halbmesser \(R_1\) ist, in zwei dem Werte \(\varphi_3 = \varphi_2 + \tfrac 12\, \varphi_0 - \tfrac 12 \,\varphi_1\) entsprechenden Punkten berührt, während ihre Enden sich auf demselben Kreise in den \(\varphi_1\) entsprechenden Punkten befinden müssen. Danach untersucht der Verfasser folgende Specialfälle: 1) Wenn \(\omega = \pi\) und \(\overline{C_1 O} = \infty\) ist, d. h. wenn \(M\) eine der geradliniegen angenäherte Bewegung haben soll, so muss zwischen \(r\) und \(L\) die Relation \(2 + r = 3L\) stattfinden, wobei \(r - \tfrac 14\) eine möglichst kleine positive Grösse sein muss. 2) Wenn \(\omega = \pi\) und \(\alpha = \pi\) ist, so ist die Bahn des Punktes \(M\) eine geschlossene Curve; die Halbmesser \(R_0, R_1\) und die Grössen \(CO_1, r\) und \(L\) stellen sich dann folgendermassen dar: \[ \tfrac 12 (R_0 + R_1) = r \text{\,cotg\,} \psi, \quad \tfrac 12 (R_0 - R_1) = 2L \text{\,cotg\,} 2 \psi, \] \[ \overline{CO_1} = \frac{2 \cos^2 \psi}{\sin 3 \psi}, \quad r = \frac{2 \sin \psi \sin 2 \psi \sqrt{2 \cos 2 \psi}}{\sin 3 \psi}, \] \[ L = \frac{\sin 2 \psi}{\sin 3 \psi}, \quad \psi = \tfrac 12 \pi - \tfrac 14 (\varphi_0 + \varphi_1); \] der Winkel \(\psi\) darf nicht \(\tfrac 14 \pi\) übersteigen, und ist \(\psi\) wenig von \(\tfrac 14 \pi\) übersteigen, und ist \(\psi\) wenig von \(\tfrac 14 \pi\) verschieden, so unterscheidet die Curve sich äusserst wenig von einem Kreise. 3) Wenn \(\alpha = \pi\) und \(\omega = 2 \varphi_2 + \varphi_0 = \pi + 2\psi\) ist, so beschreibt \(M\) eine geschlossene Curve, welche zwischen zwei auf der Axe \(CM_0\) senkrechten Geraden liegt; eine derselben geht durch \(M_0\), die andere ist von \(C\) um \(CM_1\), wo \[ CM_1 = 2 \sin \tfrac 12 (\omega - \varphi_1), \quad CM_0 = 2 \sin \tfrac 12 (\omega - \varphi_0), \] entfernt. Ist \(\psi\) wenig von \(\tfrac 14 \pi\) verschieden, so unterscheidet die Curve sich sehr wenig von einer Geraden. 4) Wenn \(\alpha = \pi\) und \(\cos(\omega - \varphi_2 - \tfrac 12 \varphi_0) > 0\) ist, so ist die Bahn von \(M\) eine geschlossene, zwischen zwei aus dem innerhalb der Curve gelegenen Centrum \(O_1\) beschriebenen Kreisen enthaltene Curve. 5) Wenn \(\alpha = \pi\) und \(\cos(\omega - \varphi_2 - \tfrac 12 \varphi_0) < 0\) ist, so ist die Bahn von \(M\) eine geschlossene, von zwei concentrischen Kreisen begrenzte Curve, nur liegt das Centrum \(O_1\) ausserhalb der Curve. Der Verfasser hat diese Bewegungen zur Construction mehrerer zu verschiedenen Zwecken dienenden Mechanismen angewandt; davon wird aber in der Abhandlung nichts erwähnt.