Die Bewegung eines von zwei festen Centren nach dem Newton'schen Gesetze angezogenen materiellen Punktes. (Q1535972)

Die Einleitung der Arbeit giebt eine kurze Uebersicht über die Geschichte dieses Problems, wobei die im vorangehenden Referate (siehe JFM 21.0908.02) angeführte Abhandlung des Hrn. Morera nicht erwähnt wird. Im Hinblick auf die Inauguraldissertation des Hrn. Königsberger (De motu puncti versus duo fixa centra attracti, Berolini 1860) bemerkt der Verfasser, dass die Resultate, zu denen er gelangt ist, von der Darstellung der die Bewegung charakterisirenden elliptischen Integrale durch die \(\Theta\)-Functionen bei Herrn Königsberger abweichen. Zur Herleitung der Integralgleichungen des Problems bedient sich Hr. Haussner der Methode, welche Hr. E. Schering für die Behandlung mechanischer Probleme in der Arbeit gegeben hat: ``Hamilton-Jacobi'sche Theorie für Kräfte, deren Mass von der Bewegung der Körper abhängt'' (Gött. Abhandl. XVIII, F. d. M. V. 1873. 444, JFM 05.0444.01). Die Zeitgleichung wird in der Form erhalten: \[ t - \varphi_1 = \int_{\lambda_{1}^{00}}^{\lambda_1} \frac{\lambda_1^2 d \lambda_1}{\sqrt{\varLambda_1}} + \int_{\lambda_{2}^{00}}^{\lambda_2} \frac{\lambda_2^2 d \lambda_2}{\sqrt{\varLambda_2}}, \] die Bahngleichung in der rotirenden Ebene (vergl. das vorangehende Referat (JFM 21.0908.02)) \[ 2 \varphi_2 = \int_{\lambda_{1}^{00}}^{\lambda_1} \frac{d \lambda_1}{\sqrt{\varLambda_1}} + \int_{\lambda_{2}^{00}}^{\lambda_2} \frac{d \lambda_2}{\sqrt{\varLambda_2}}\,, \] die Gleichung für den Winkel, den die rotirende Ebene mit ihrer Anfangslage bildet: \[ \chi + \varphi_3 = \left[ \int_{\lambda_{1}^{00}}^{\lambda_1} \frac{d \lambda_1}{(\lambda_1^2 - f^2) \sqrt{\varLambda_1}} + \int_{\lambda_{2}^{00}}^{\lambda_2} \frac{d \lambda_2}{(\lambda_2^2 - f^2) \sqrt{\varLambda_2}} \right] \psi_3 f^2, \] wo \[ \varLambda_1 = [2 \psi_1 \lambda_1^2 + 2(m_1 + m_2) \lambda_1 - \psi_2] [ \lambda_1^2 - f^2] - \psi_3^2 f^2, \] \[ \varLambda_2 = [2\psi_1 \lambda_2^2 + 2 (m_1 - m_2) \lambda_2 - \psi_2] [ \lambda_2^2 - f^2] - \psi_3^2 f^2 \] gesetzt ist, \(\lambda_1\) und \(\lambda_2\) die beiden elliptischen Coordinaten des beweglichen Punktes in der rotirenden Ebene bedeuten, die anderen Grössen Constanten sind, \(\psi_1\) die des Integrals der lebendigen Kraft. Während nun Hr. Bonacini sich in dem oben besprochenen Aufsatze mit der Umformung der elliptischen Integrale gar nicht befasst hat, ist diese Aufgabe für Hrn. Haussner der Gegenstand einer höchst eingehenden und sorgfältigen Arbeit geworden. Die Untersuchung der Wurzeln der Gleichungen \(\varLambda_1 = 0\) und \(\varLambda_2 = 0\) wird mit Hülfe einer graphischen Darstellung bewirkt und fordert auch hier besonders die Unterscheidung der drei Fälle \(\psi_1 > 0, \psi_1 = 0, \psi_1 < 0\), von denen der letzte aber wieder in drei Unterfälle gespalten wird. Zur Reduction der elliptischen Integrale auf die Weierstrass'sche Normalform dritten Grades dient eine dem Verf. von Hrn. Schwarz mitgeteilte und von Hrn. Weierstrass herrührende Methode; dieselbe stimmt im Wesen mit derjenigen überein, welche aus dem dreizehnten, von demselben berühmten Meister herrührenden Abschnitte aus Hrn. Schellbach's ``Elliptischen Integralen und Thetafunctionen'' bekannt ist. Die Ausdrücke der Integrale durch die Sigmafunctionen werden dann in die ``für die numerische Berechnung bequemeren'' Thetafunctionen umgerechnet, und bei allen diesen Umwandlungen leistet die von Hrn. Schwarz herausgegebene Sammlung von ``Formeln und Lehrsätzen zum Gebrauche der elliptischen Functionen'' vortreffliche Dienste. Erst wenn die analytische Untersuchung bis zu reinlichen Endformeln durchgedrungen ist, erfolgt in Kürze eine geometrische Deutung, welche an den Figuren der Tafeln veranschaulicht wird. Die Wiedergabe der mannigfaltigen Ergebnisse würde zu viel Raum beanspruchen. Wir beschränken uns auf den Hinweis, dass die Fälle der algebraischen Curven für die im allgemeinen transcendente Bahn jedes Mal ermittelt sind, und dass zuletzt eine kurze Bemerkung sich mit den Abänderungen beschäftigt, welche an den Lösungen vorzunehmen sind, wenn eines der beiden Centren oder alle beide abstossend wirken. Die Einzelheiten der reichhaltigen Abhandlung müssen im Originale nachgelesen werden.