Ueber die Stabilität der Bewegung in einem Specialfalle des Problems der drei Körper. (Q1535993)

In dieser Arbeit wird derjenige, von Laplace zuerst bemerkte Specialfall des Problems der drei Körper betrachtet, wo die sich anziehenden materiellen Punkte während der ganzen Bewegungsdauer in den Ecken eines veränderlichen gleichseitigen Dreiecks bleiben. Die Stabilität einer solchen Bewegung bei der Annahme der Unveränderlichkeit der Seiten des Dreiecks ist von Routh untersucht worden. In dieser Abhandlung dagegen wird eine allgemeinere Annahme gemacht, nämlich dass die Seiten des Dreiecks sich im Laufe der Zeit periodisch verändern. Dabei wird die Bewegung als stabil betrachtet, wenn die, jeder unendlich kleinen Störung entsprechende, gestörte Bewegung von der Beschaffenheit ist, dass die Winkel des Dreiecks immer unendlich wenig von \(\tfrac 13 \pi\) abweichen und die Seiten sich zwischen Grenzen verändern, die sich unendlich wenig von denjenigen unterscheiden, welche ihnen in der ungestörten Bewegung entsprechen. Indem der Verfasser sich mit der ersten Annäherung begnügt (wie dies gewöhnlich in derartigen Fragen geschieht), zeigt er, dass die Frage nach der Bewegung des Systems sich dann auf die Lösung eines Systems von linearen Differentialgleichungen vierter Ordnung mit periodischen Coefficienten reduciren lässt. Die Lösung der Frage nach der Stabilität lässt sich auf die Bildung und Untersuchung der diesem System entsprechenden charakteristischen Gleichung zurückführen. Letztere ist, wie der Verfasser beweist, im vorliegenden Falle immer von der Form: \[ q^4 - 2Aq^3 + 2 Bq^2 - 2Aq + 1 = 0. \] Deshalb reduciren sich die Stabilitätsbedinungen darauf, dass die Moduln der Wurzeln dieser Gleichung gleich 1 seien. Die Untersuchung dieser Bedingungen verlangt die Kenntnis der Constanten \(A\) und \(B\). Da aber allgemein für die letzteren keine Ausdrücke endlicher Form gegeben werden können, so ist man gezwungen, zu unendlichen Reihen Zuflucht zu nehmen. Der Verfasser schlägt zwei Methoden für die Berechnung der Constanten \(A\) und \(B\) vor, beide gegründet auf die Entwickelung dieser Constanten nach Potenzen einiger in den Differentialgleichungen vorkommenden Parameter. Die eine derselben ist bequem anwendbar in dem Falle, wo die Masse des einen der Punkte sehr gross im Verhältnis zu den Massen der beiden übrigen ist. Die andere dagegen, wenn in der betreffenden periodischen Bewegung die Grenzen der Veränderlichkeit der Seiten des Dreiecks einander sehr nahe liegen. Nach der Entwickelung dieser Methoden wendet der Verfasser dieselben zum Beweise einer Reihe von Sätzen an, von denen wir auf den folgenden aufmerksam machen: Im Falle einer dem Quadrate der Entfernungen umgekehrt proportionalen Anziehung ist jede periodische Laplace'sche Bewegung stabil, wenn nur die Masse eines der Punkte im Vergleich zu den Massen der beiden übrigen genügend gross ist.