Ueber die Rotation mit einander verbundener Körper. (Q1536016)

Die behandelte Aufgabe lautet: Ein starrer Körper I dreht sich um einen festen Punkt. Der Körper I trägt eine beliebig liegende Axe, um welche ein anderer Körper II frei rotiren kann. Es ist die Bewegung zu untersuchen, die das System unter gewissen (im Laufe der Untersuchung näher erörterten) Annahmen über die Beschaffenheit des Körpers II und über die wirkenden Kräfte annimmt. In No. 1 werden die bekannten Grundformeln für das Rotationsproblem nach der Bezeichnung von Poisson in Kürze wiedergegeben und darauf in No. 2 die Trägheits- und die Deviations-Momente des aus den Körpern I und II gebildeten Systems bestimmt. Aus den gewonnenen Formeln ergeben sich die notwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür, dass alle Momente von der Zeit unabhängig sind. Diese Bedingungen besagen, dass die Axe \((\xi)\), um welche der Körper II frei rotiren kann, durch den Schwerpunkt dieses Körpers geht, dass ferner diese Axe eine Hauptträgheitsaxe von II ist, während die Hauptträgheitsmomente für alle Axen, die im Schwerpunkte auf \(\xi\) senkrecht stehen, gleich sind; mit anderen Worten, der Körper II muss den Charakter eines Rotationskörpers haben, dessen Figurenaxe mit \(\xi\) zusammenfällt. Diese Bedingungen werden nun stets als erfüllt vorausgesetzt. Nach Berechnung der lebendigen Kraft des aus den Körpern I und II gebildeten Systems (No. 3) erfolgt eine derartige Festlegung des im Körper I fest angenommenen, also mit ihm bewegten Coordinatensystems \(x_1, y_1, z_1\), dass die drei Deviationsmomente des aus den Körpern I und II gebildeten Systems verschwinden. Um dies zu erreichen, braucht man nur den Körper II durch eine mit Masse belegte Linie zu ersetzen, indem man die Masse \(M_2\) von II auf der Axe \(\xi\), um die II rotirt, so verteilt, dass der Schwerpunkt dieser Massenverteilung mit dem Schwerpunkte von II zusammenfällt, dass ferner das Trägheitsmoment der neuen Massenverteilung und das Trägheitsmoment des Rotationskörpers II in Bezug auf jede durch den Schwerpunkt gehende und zur Rotationsaxe senkrechte Axe übereinstimmen, eine auf unendlich viele Arten zu bewerkstelligende Verteilung. Statt des einen Körpers II kann man mit I auch mehrere Körper derselben Art verbinden, die alle den oben gekennzeichneten Bedingungen genügen und sich unabhängig von einander um ihre Axen drehen. Aus dem Ausdrucke für die lebendige Kraft \(T\) ergeben sich nun die Differentialgleichungen der Bewegung in der zweiten Lagrange'schen Form, und zwar zunächst für das Problem, bei welchem nur ein Körper II mit I verbunden ist. Zu diesem Zwecke wird zur Abkürzung gesetzt \[ (15) \quad \begin{cases} \alpha p + \alpha_1 q + \alpha_2 r + \frac{d \delta}{dt} = \omega,\\ \frac{\partial T}{\partial p} Ap + A_2 \alpha \omega = P,\\ \frac{\partial T}{\partial q} = Bq + A_2 \alpha_1 \omega = Q,\\ \frac{\partial T}{\partial r} = Cr + A_2 \alpha_2 \omega = R. \end{cases} \] (\(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\) die Richtungscosinus der Axe \(\xi\) gegen die in I festen Axen der \(x_1, y_1, z_1; \delta\) der Drehungswinkel von II um \(\xi\); \(A, B, C, A_2\) Grössen, die mit den Trägheitsmomenten der Körper I u. II einfach zusammenhängen). Die erhaltenen Differentialgleichungen werden dann auf den Fall mehrerer mit I verbundener Körper ausgedehnt und in No. 5 für den Fall integrirt, dass keine \a''usseren Kräfte einwirken, oder dass bei einwirkender Schwere der feste Punkt \(O\) des Körpers I der Schwerpunkt des Systems ist. Sind die in der ersten Gleichung (15) definirten Grössen für die verschiedenen Körper \(\omega, \omega', \omega'', \dots\), so werden dieselben in dem betrachteten Falle constant, und der Verf. setzt \[ (17) \quad \begin{cases} A_2 \alpha \omega + A_2' \alpha' \omega' + {A_2}'' \alpha'' \omega'' + \cdots = Af,\\ A_2 \alpha_1 \omega + A_2' \alpha_1' \omega' + {A_2}'' {\alpha_1}'' \omega'' + \cdots Bf_1,\\ A_2 \alpha_2 \omega + A_2' \alpha_2' \omega' + {A_2}'' {\alpha_2}'' \omega'' + \cdots Cf_2,\end{cases} \] so dass \[ (15\text{b}) \quad P = A(p + f), \quad Q = B (q + f_1), \quad R = C (r + f_2) \] wird, während die noch zu integrirenden Gleichungen \[ (16 \text{b}) \quad \begin{cases} \frac{dP}{dt} - Qr + Rq = 0,\\ \frac{dQ}{dt} - Rp + Pr = 0,\\ \frac{dR}{dt} - Pq + Qp = 0\end{cases} \] sind. Aus (16 b) fliesst nach Multiplication mit \(P, Q, R\) durch Addition und Integration \[ (18) \quad P^2 + Q^2 + R^2 = l^2 = A^2 (p + f)^2 + B^2 (q + f_1)^2 + C^2 (r + f_2)^2, \] ferner nach Multiplication mit \(p, q, r\) und Addition, resp. Integration \[ (19) \quad Ap^2 + Bq^2 + Cr^2 = 2h. \] Die Gleichungen (18) und (19), mit einer der Gleichungen (16 b) verbunden, reichen aus, um \(p, q, r\) als Functionen von \(t\) zu bestimmen, ähnlich wie beim gewöhnlichen Rotationsproblem, in welches das vorliegende übergeht, wenn \(f, f_1, f_2\) verschwinden. Zunächst werden einige Specialfälle betrachtet, nämlich a) \(f_1 = 0, f_2 = 0\), b) \(f_2 = 0\), c) \(A = B\). Endlich wird der allgemeine Fall durchgerechnet. Durch die geschickte Einführung einer Hülfsgrösse \(v\) gelingt es, \(dt\) als ein elliptisches Differential von \(v\) darzustellen, ein Resultat, das von vorne herein nicht vorauszusehen war, weil die directe Auflösung der Gleichungen (18) und (19) nach zwei der Grössen \(q, r\) auf eine Gleichung vierten Grades führt. Nachdem die allgemeine Aufgabe auf Quadraturen gebracht und gezeigt ist, dass die Winkelgeschwindigkeiten \(p, q, r\) sich durch elliptische Functionen der Zeit ausdrücken lassen, wird in No. 6 die Bestimmung der übrigen in der Aufgabe auftretenden Grössen erörtert. Die so in ihren Grundzügen ermittelte Bewegung lässt keine so anschauliche geometrische Deutung zu, wie das einfache Rotationsproblem. Die Abweichung rührt daher, dass die beiden Ellipsoide, deren Durchschnittscurve den Ort für den Pol bildet, nicht mehr denselben Mittelpunkt haben. Einige specielle Annahmen für den Fall eines einzigen mit I verbundenen Körpers werden zuletzt besprochen. In No. 7 wird nun zu dem Falle übergegangen, dass die Schwere einwirkt. Durch Vergleichung mit dem von Lagrange betrachteten Falle, nämlich dass der rotirende Körper ein Rotationskörper ist, dessen fester Punkt in einem beliebigen Punkte der Rotationsaxe liegt, ergiebt sich, dass zur Erzielung derselben Vereinfachungen auch noch \(f\) und \(f_1\) verschwinden müssen. Dann werden die Gleichung des Problems, abgesehen von den abweichenden Bedeutungen der Constanten, völlig identisch mit den Lagrange'schen Lösungen; und somit ist eine Erweiterung des Lagrange'schen Falles der Rotation erreicht. In der letzten Nummer (8) der Abhandlung erfolgt eine Ausdehnung nach einer anderen Richtung hin; es werden nämlich mit I andere Körper so verbunden, dass sie sich nicht um feste Axen, sondern um feste Punkte in I drehen können. Die Bedingung, dass die berechneten Momente von der Zeit unabhängig werden, erfordert hier, dass der Körper II in Bezug auf seinen in I festen Punkt drei gleiche Trägheitsmomente besitzt, also den Charakter einer Kugel habe.