Mémoire sur la propagation du mouvement dans les corps et spécialement dans les gaz parfaits. Deuxième partie. (Q1536038)

In dem ersten Abschnitt dieser Abhandlung beschäftigt sich der Verfasser mit gewissen Bewegungen von Flüssigkeiten, die in Röhren eingeschlossen sind. Es wird vorausgesetzt, dass die äusseren Kräfte vernachlässigt werden dürfen, eben so wie die innere und äussere Reibung. Die Wandung soll undurchdringlich für die Wärme sein und die Leitungsfähigkeit des Gases für die Wärme unmerklich. Zur Zeit Null soll die Flüssigkeit in Ruhe sein; die Bewegung wird dadurch hervorgerufen, dass man dem einen Ende eine allmählich von Null aus wachsende Bewegung mitteilt. Dann hat die Differentialgleichung der Bewegung die Form: \[ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \varphi \left( \frac{\partial u}{\partial x} \right) \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}. \] Benutzt man \(x, l, u\) als rechtwinklige Coordinaten, so liefert jedes Integral dieser Gleichung eine gewisse Fläche. Die Projectionen der Charakteristiken genügen der Differentialgleichung \[ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 = \varphi \left( \frac{\partial u}{\partial x} \right), \] oder wenn \(\varphi \left( \frac{\partial u}{\partial x} \right) = \left[ \psi' \left( \frac{\partial u}{\partial x} \right) \right]^2\) gesetzt wird: \[ \frac{dx}{dt} = + \psi' \left( \frac{\partial u}{\partial x} \right) \quad \text{oder} \quad \frac{dx}{dt} = - \psi' \left( \frac{\partial u}{\partial x} \right). \] Bildet man für die Charakteristiken \[ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial u}{\partial t} \right) = \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} + \frac{dx}{dt}\;\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial t}, \quad \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial u}{\partial x} \right) = \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial t} + \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\;\frac{dx}{dt}, \] so erkennt man, dass für dieselben \[ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial u}{\partial t} \right) - \frac{dx}{dt}\;\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial u}{\partial x} \right) = \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}= \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - \varphi \left( \frac{\partial u}{\partial x} \right) \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0 \] ist. Benutzt man aber den Wert für \(\frac{dx}{dt}\), so erkennt man, dass für die Charakteristiken: \[ \frac{\partial u}{\partial t} + \psi \left( \frac{\partial u}{\partial x} \right) = \alpha \quad \text{oder} \quad \frac{\partial u}{\partial t} - \psi \left( \frac{\partial u}{\partial x} \right) = \beta. \] Durch jeden Punkt geht je eine Charakteristik der beiden Arten. Ist nun für eine Linie, welche nicht selbst eine Charakteristik ist, die Richtung der Tangentialebene (d. h. sowohl \(\frac{\partial u}{\partial t}\) als \(\frac{\partial u}{\partial x}\)) constant, so haben die Parameter \(\alpha, \beta\) und damit \(\frac{\partial u}{\partial t}, \frac{\partial u}{\partial x}\) selbst für die ganze Fläche constante Werte, d.h. die Integralfläche ist eine Ebene. Haben hingegen für eine Charakteristik, z. B. für \(\frac{\partial u}{\partial t} + \psi \left( \frac{\partial u}{\partial x} \right) = \alpha\), \(\frac{\partial u}{\partial t}\) und \(\frac{\partial u}{\partial x}\) constante Werte, so ist der Parameter der anderen für die ganze Fläche constant, d. h. die Integralfläche ist abwickelbar. Wenn nun eine Bewegung aus dem Anfangszustand der Ruhe hervorgeht, so muss ihre Integralfläche die Ebene \(u = 0\) längs einer geraden Linie \[ \frac{dx}{dt} = \pm \psi' (0) \] berühren, d. h. längs einer Charakteristik. Deshalb muss die Gleichung der Integralfläche für den in Frage kommenden Fall der Gleichung \[ \frac{\partial u}{\partial t} = \pm \left( \psi \left( \frac{\partial u}{\partial x} \right) - \psi (0) \right) \] genügen, deren Integrale durch die Gleichungen: \[ u = x\gamma \pm t (\psi (\gamma) - \psi (0)) + F(\gamma), \quad \text{und} \quad 0 = x \pm t \psi' (\gamma) + F' (\gamma) \] bestimmt sind. Die Charakteristiken derselben sind gerade Linien. Ferner ist klar, dass ein Kegel, dessen erzeugende Geraden parallel denjenigen der Integralfläche sind, unabhängig von \(F\) ist, sodass die Wendekanten sämtlicher derartiger Integralflächen dieselbe sphärische Indicatrix haben. Für die Dilatation \(z = \frac{\partial u}{\partial x}\) und die Geschwindigkeit \(v = \frac{\partial u}{\partial t}\) gelten die Differentialgleichung: \[ \frac{\partial z}{\partial t} \mp \psi' (z) \frac{\partial z}{\partial x} = 0, \] \[ \frac{\partial v}{\partial t} + \theta (v) \frac{\partial v}{\partial x} = 0. \] Für ein ideales Gas ist \[ \psi' (z) = a (1 + z)^{- \frac{m + 1}{2}}, \] und demnach für das untere Zeichen \[ v = \frac{2a}{m - 1} \left( (1 + z)^{- \frac{m - 1}{2}} - 1 \right), \] wo \(a\) die Schallgeschwindigkeit bezeichnet. Für die hier in Betracht kommende Bewegung erhält man aus \(x - t \psi' (z) + F'(z) = 0\): \[ v = G \left( t - \frac{x}{a \left( 1 + \frac{m - 1}{2a}\;v \right)^{\frac{m + 1}{m - 1}}} \right). \] Soll \(v = \alpha t\) sein für \(x = 0\), so wird allgemein \[ v = \alpha \left( t - \frac{x}{a \left( 1 + \frac{m - 1}{2a}\;v \right)^{\frac{m + 1}{m - 1}}} \right). \] Diese Bewegung und die andere, bei welcher \(v = \alpha \cos \beta t\) sein soll für \(x = 0\), untersucht der Verfasser dann des genaueren. Auch wird der Fall besprochen, dass der eine Verschluss in der Röhre verschiebbar ist. Der zweite Teil der vorliegenden Abhandlung handelt von den Discontinuitäten, welche bei den hier betrachteten Bewegungen möglich sind. Für zwei Körper, welche längs einer Ebene an einander stossen, mögen sein der Druck, die Geschwindigkeit, die Dilatation: \[ p, \quad v, \quad z, \] \[ p', \quad v', \quad z'. \] Dann wird in jedem Körper eine neue Bewegung sich fortpflanzen, für welche die betreffenden Grössen \[ p_1, \quad v_1, \quad z_1, \] \[ p_1', \quad v_1', \quad z_1' \] sein mögen; \(dx, dx'\) mögen die Strecken bezeichnen, welche diese Bewegung im Zeitelemente \(dt\) durchläuft. Dann folgt zunächst \[ p_1 = p_1', \quad v_1 = v_1'. \] Ferner erhält man, da der Zuwachs der Bewegungsgrösse \(\varrho_0 (v_1 - v) dx\) resp. \(\varrho_0' (v_1' - v')dx'\) ist, die Gleichungen: \[ \varrho_0 (v_1 - v) \frac{dx}{dt} = p - p_1, \quad \varrho_0' (v_1' - v') \frac{dx'}{dt} = p' - p'. \] Ausserdem muss sein: \[ (z_1 - z) \frac{dx}{dt} = v_1 - v, \quad (z_1' - z') \frac{dx'}{dt} = v' - v_1'. \] Dazu kommen noch zwei weitere Gleichungen, welche die Drucke \(p', p_1'\) bestimmen. Ist der Druck unabhängig von den Transformationen, welchen der Körper unterworfen ist, so darf man setzen: \[ p_1 = \varphi(z_1), \quad p_1' = \psi (z_1'). \] Ist im besonderen \(\psi (z) = \varphi(z)\), so wird \(z_1 = z_1'\), und man hat dann folgende Gleichungen: \[ \varrho_0 (v_1 - v) \frac{dx}{dt} = \varphi(z) - \varphi\; (z_1), \quad \varrho_0' (v_1 - v) \frac{dx'}{dt} = \varphi(z_1) - \varphi(z'), \] \[ (z_1 - z) \frac{dx}{dt} = v_1 - v , \quad \quad (z_1 - z') \frac{dx'}{dt} = v' - v_1, \] welche nur noch die vier Unbekannten \(z_1, v_1, \frac{dx}{dt}, \frac{dx'}{dt}\) enthalten. Im allgemeinen wird also das ganze Gebiet in drei Teile zerlegt; ist \(\frac{dx'}{dt}\) aber gleich Null, so werden nur zwei Teile bestehen bleiben. Dann muss \(z' = z_1, \; v' = v_1\) sein; indem wir dann \(\frac{dx}{dt}\) eliminiren, erhalten wir: \[ \varrho_0 (v' - v)^2 = (\varphi(z) - \varphi(z'))(z' - z). \] Diese Bedingung lässt sich auch anders gestalten. Berechnet man \(\frac{dx}{dt}\) aus \(u - u' = 0\), so muss sein \[ \varrho_0 \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 = \frac{\varphi(z) - \varphi(z_1')}{z' - z}. \] Wenn aber der Druck und die Dichtigkeit abhängig sind von den Transformationen, welche der Körper erfährt, so darf nicht mehr \(p_1 = \varphi(z_1)\), \(p_1' = \varphi (z_1')\) gesetzt werden. Dann müssen diese Gleichungen durch andere ersetzt werden, welche aus der Ueberlegung gewonnen werden, dass die auf in \((dx)\) und in \((dx')\) liegende Massenteile geleistete Arbeit gleich dem Energiezuwachs ist. Die complicirte Rechnung, welche zur Ausführung dieses Gedankens dient, kann hier leider nicht im Auszug wiedergegeben werden. Von den Anwendung ist die auf die Bestimmung des Luftwiderstandes gegen Geschosse besonders hervorzuheben.