Attraction d'un ellipsoïde homogène ou composé de couches homogènes sur un point extérieur. (Q1536073)

Die Anziehung, welche eine unendlich dünne, von zwei ähnlichen und ähnlich liegenden Ellipsoiden begrenzte homogene Schale auf einen äusseren Punkt \(P\) ausübt, wird hier mittels der folgenden Betrachtungen gefunden. Durch einen Punkt \(O\) im Innern der Schale zieht man eine beliebige Linie, welche die innere Grenzfläche der Schale in \(R\) und \(R'\) trifft, und bestimmt die Resultirende der Kräfte, welche die bei \(R\) und \(R'\) liegenden Volumenelemente auf den äusseren Punkt \(P\) ausüben. Dann sucht man die Lage des Punktes \(O\) derart zu bestimmen, dass die eben erwähnte Resultirende die Richtung \(PO\) hat. Die aus dieser Forderung sich ergebenden Rechnungen gestalten sich ziemlich einfach, wenn man mit dem Verfasser für das Verhältnis \(OR^2 : PR^2\) eine passende Form annimmt, und führen zu dem Resultat: Jene Forderung ist erfüllt, wenn \(PO\) Normale desjenigen zu der inneren Grenzfläche der Schale confocalen Ellipsoids ist, das durch \(P\) geht, und wenn \(O\) ausserdem auf der Polarebene des Punktes \(P\) in Bezug auf die innere Grenzfläche liegt. Nunmehr lässt sich auch für die oben erwähnte Resultirende ein einfacher Ausdruck finden. Zerlegt man denselben parallel den Axen des Ellipsoids in drei Componenten, so ergeben sich durch Summation die Anziehungscomponenten der Schale. Die erforderliche Summation lässt sich ohne jede Rechnung ausführen, wenn man beachtet, dass das Verhältnis \(OR : PR\) als ein vom Mittelpunkte aus gezogener Radius vector eines anderen Ellipsoids angesehen werden kann, dessen Axen die Verhältnisse der Axen des inneren Grenzellipsoids der Schale und der Axen des durch \(P\) gehenden confocalen Ellipsoids sind. Aus den Anziehungscomponenten der unendlich dünnen Schale folgen weiter auf bekannte Weise (wie bei Chasles) die Componenten der Anziehung eines vollen Ellipsoids, das aus derartigen Schalen mit constanter oder mit von Schale zu Schale veränderlicher Dichtigkeit zusammengesetzt ist. Die vorliegende Ableitung ist dadurch besonders einfach, dass sie die Ausführung aller Integrationen durch geometrische Betrachtungen ersetzt. Indessen beruht diese Einfachheit in der Anwendung gewisser Kunstgriffe, von denen man nicht erkennt, wie der Verf. zu ihnen gelangt.