Sur la théorie de la déformation infiniment petite d'un milieu. Extrait d'une Lettre à M. Maurice Lévy. (Q1536115)

Damit sechs Grössen \(a, b, c, f, g, h\) die Componenten der Deformation eines elastischen Körpers sein können, d. h. damit sie sich in der Form: \[ a = \frac{\partial u}{\partial x}, \quad b = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad c = \frac{\partial w}{\partial z}, \] \[ f = \tfrac 12 \left( \frac{\partial w}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial z} \right), \quad g = \tfrac 12 \left( \frac{\partial u}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial x} \right), \quad h = \tfrac 12 \left( \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} \right) \] darstellen lassen, müssen sechs Relationen zwischen ihnen bestehen. Der Verfasser gelangt auf folgende Weise dazu, diese Bedingungen in der Form auszudrücken, dass die Variation eines Integrals den Wert Null annimmt. Sind nämlich \(p, q, r\) die Rotationscomponenten, d. h. \[ \tfrac 12 \left( \frac{\partial w}{\partial y} - \frac{\partial v}{\partial z} \right), \quad \tfrac 12 \left( \frac{\partial u}{\partial z} - \frac{\partial w}{\partial x} \right), \quad \tfrac 12 \left( \frac{\partial v }{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} \right), \] so kann man \(x, y, z\) als Functionen von \(p, q, r\) ansehen und das Integral \[ S = \tfrac 12 \iiint \left( \frac{\partial x}{\partial p} + \frac{\partial y}{\partial q} + \frac{\partial z}{\partial r} \right) dp\,dq\,dr \] bilden, welches sich auf \[ S= \tfrac 12 \iiint \left( \frac{\partial q}{\partial y} \frac{\partial r }{\partial z} - \frac{\partial q}{\partial z} \frac{\partial r}{\partial y} + \frac{\partial r}{\partial z} \frac{\partial p}{\partial x} - \frac{\partial r }{\partial x} \frac{\partial p}{\partial z} + \frac{\partial p}{\partial x} \frac{\partial q}{\partial y} - \frac{\partial p}{\partial y} \frac{\partial q }{\partial x} \right) dx\, dy\, dz \] reducirt. Dieses Integral ist aber nur scheinbar ein dreifaches, indem es in mehrfacher Weise auf ein Oberflächenintegral reducirt werden kann, z. B. auf: \[ S = \tfrac 14 \int \left\{\left( \frac{\partial p}{\partial x}\;p + \frac{\partial p }{\partial y}\;q + \frac{\partial p}{\partial z}\;r \right) \frac{\partial x}{\partial n} + \left( \frac{\partial q}{\partial x}\;p + \frac{\partial q}{\partial y}\;q + \frac{\partial q}{\partial z} \;r \right) \frac{\partial y}{\partial n} + \left( \frac{\partial r}{\partial x}\;p + \frac{\partial r}{\partial y}\;q + \frac{\partial r}{\partial z}\;r \right) \frac{\partial z}{\partial n} \right\} d\sigma. \] Sind nun \(a, b, c, f, g, h\) und \(p, q, r\) zusammengehörige Deformationen und Rotationscomponenten, so lässt sich das dreifache Integral auch schreiben: \[ \begin{multlined} S = \tfrac 12 \iiint \left\{ (h_z - f_x)\; (f_x - g_y) + (f_x - g_y)\; (g_y - h_z)\right.\\ + (g_y - h_z)\; (h_z - f_x) - (g_z - c_x)\; (b_x - h_y)\\ - (h_x - a_y)(c_y - f_z) - (f_y - b_z)\; (a_z -g_x)\}dx\,dy\,dz.\end{multlined} \] Das dreifache Integral der Variation dieses Ausdrucks wird: \[ S = \iiint (A\delta a + B\delta b + C\delta c + F\delta f + G\delta g + H\delta h)dx\, dy\, dz, \] wo: \[ A = \frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial z} - \tfrac 12 \left( \frac{\partial^{2}f}{\partial z^2} + \frac{\partial^{2}c}{\partial y^2} \right), \] \[ F = \frac{\partial^{2}a}{\partial y\partial z} - \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial g}{\partial y} + \frac{\partial h}{\partial z} - \frac{\partial f}{\partial x} \right) \] ist; die anderen 4 Grössen erhält man durch cyklische Vertauschung der Grössen \(x, y, z, a, b, c, f, g, h\). Wegen der oben angegebenen Möglichkeit der Reduction des dreifachen Integrals auf ein Oberflächen-Integral erhält man als Bedingungen dafür, dass \(a, b, c, f, g, h\) einen Deformationszustand angeben: \[ A = B = C = F = G = H = 0. \] Das sind aber gerade die bekannten Bedingungen.