On the free vibrations of an infinite plate of homogeneous isotropic elastic matter. (Q1536146)

Der Verfasser betrachtet solche Lösungen der bekannten Differentialgleichungen der Elasticitätslehre \[ \varrho \frac{d^2 \alpha}{dt^2} = m\;\frac{\partial \theta}{\partial x} + n \bigtriangledown^{2} (\alpha), \] \[ \theta = \frac{\partial \alpha}{\partial x} + \frac{\partial \beta}{\partial y} + \frac{\partial \gamma}{\partial z}, \] welche sich in der Form: \[ e^{ipt + i(fx + gy)} f(z) \] darstellen; dann kann durch eine Drehung des Coordinatensystems bewirkt werden, dass \(g = 0\) und somit die Lösung von \(y\) unabhängig wird. Der Körper, um welchen es sich handelt, soll begrenzt werden durch die Ebenen \[ z = \pm z_1. \] Setzt man zur Abkürzung \[ h^2 = \frac{\varrho p^2}{m + n}, \quad k^2 = \frac{\varrho p^2}{n}, \] so hat man folgende Differentialgleichungen: \[ \begin{aligned} & \bigtriangledown^{2} (\theta) + h^2 \theta = 0,\\ & \bigtriangledown^2 (\alpha) + k^2 \alpha = \left( 1 - \frac{k^2}{h^2} \right) \frac{\partial \theta}{\partial x}.\end{aligned} \] Setzt man dann weiter \[ \alpha = - \frac{1}{h^2}\;\frac{\partial \theta}{\partial x} + \alpha_1, \quad \gamma = - \frac{1}{h^2}\;\frac{\partial \theta}{\partial y} + \gamma_{1}, \] so genügen \(\alpha_1, \beta_1, \gamma_1\) der Gleichung: \[ \bigtriangledown^2 (u) + k^2 u = 0; \] ausserdem wird: \[ \frac{\partial \alpha_1}{\partial x} + \frac{\partial \gamma_1}{\partial z} = 0. \] Man kann also \(\alpha_1 = \frac{\partial \chi}{\partial z}, \; \gamma_1 = - \frac{\partial \chi}{\partial x}\) setzen, so dann \(\chi\) ebenfalls der eben erwähnten Differentialgleichung genügt. Benutzt man nun die oben gemachte Voraussetzung über die Form der Lösung, so erhält man: \[ \begin{aligned} & \theta = P \text{\,cosh\,}rz + Q \text{\,sinh\,}rz, \quad \quad r = \sqrt{f^2 - h^2},\\ & \chi = A \text{\,sinh\,}sz + B \text{\,cosh\,} sz,\\ & \beta = C \text{\,cosh\,} sz + D \text{\,sinh\,} sz, \quad \quad s = \sqrt{f^2 - k^2}.\end{aligned} \] An den Oberflächen müssen die drei Druckcomponenten verschwinden. Das liefert die Gleichungen: \[ (m - n) \theta + 2n\;\frac{\partial \gamma}{\partial z} = 0, \] \[ - \frac{2}{h^2}\;\frac{\partial^2 \theta}{\partial x \partial z} - \frac{\partial^2 \chi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \chi}{\partial z^2} = 0, \] \[ \frac{d\beta}{dz} = 0. \] Sind nun \(C\) und \(D\) nicht beide Null, so erfordert die Erfüllung der dritten Bedingung entweder \[ D = 0 \quad \text{und} \quad \text{sinh\,}sz_1 = 0 \] oder \[ C = 0 \quad \text{und} \quad \text{cosh\,}sz_1 = 0. \] Demnach ist im ersten Fall \[ s = \frac{iq\pi}{z_1}, \quad \text{im zweiten} \quad s = \frac{i\; (q + \tfrac 12)\pi}{z_1}, \] wo \(q\) eine ganze Zahl bedeutet. Die beiden andern Bedingungen geben dann für \(P, Q, A, B\) den Wert Null. Dagegen ergeben sich in dem Falle, dass \(C = D = 0\) ist, die vier Gleichungen: \[ 2ifrh^{-2} P \text{\,sinh\,}rz_1 + (k^2 - 2f^2) A \text{\,sinh\,}sz_1 = 0, \] \[ (k^2 - 2f^2)P \text{\,cosh\,}rz_1 - 2h^2 ifs A \text{cosh\,} sz_1 = 0, \] \[ 2ifrh^{-2} Q \text{\,cosh\,}rz_1 + (k^2 - 2f^2) B \text{\,cosh\,}sz_1 = 0, \] \[ (k^2 - 2f^2)Q \text{\,cosh\,}rz_1 - 2h^2 ifs B \text{\,sinh\,} sz_1 = 0. \] Diese kann man erfüllen durch \(Q = B = 0,\) wenn \(p\) aus der Gleichung: \[ 4f^2 rs \text{tgh\,} rz_1 = (k^2 - 2f^2)^2 \text{tgh\,}sz_1 \] bestimmt wird, oder durch \(A = P = 0\), wenn \(p\) aus der Gleichung \[ 4f^2 rs \text{\,ctgh\,}rz_1 = (k^2 - 2f^2)^2 \text{ctgh\,} sz_1 \] entnommen wird. In diesen beiden Fällen wird die Lösung durch folgende Formeln dargestellt: \[ \alpha = e^{ipt} e^{ifx} \{ 2sf^2 \text{cosh\,} sz_1 \text{cosh\,} rz + s (k^2 - 2f^2) \text{cosh\,} rz_1 \text{cosh\,} sz \}, \] \[ \gamma = -e^{ipt} e^{ifx} \{ 2ifrs \text{\,sinh\,} sz_1 \,\text{sinh\,} rz + if (k^2 - 2f^2) \text{cosh\,} rz_1 \text{sinh\,} sz \}, \] resp. durch \[ \alpha = e^{ipt} e^{ifx} \{ 2sf^2 \text{sinh\,} sz_1 \,\text{sinh\,} rz + s (k^2 - 2f^2) \text{sinh\,} rz_1 \text{\,sinh\,} sz \}, \] \[ \gamma = -e^{ipt} e^{ifx} \{ 2ifrs \,\text{sinh\,} sz_1 \, \text{cosh\,} rz + if (k^2 - 2f^2) \text{sinh}\, rz_1 \text{cosh\,} sz \}. \] Der Verfasser löst nun die Gleichungen für \(p\) erst unter der Voraussetzung eines unendlich kleinen \(z_1\) auf und giebt dann genauere Werte für \(p\) an. Weiter stellt der Verfasser einige Betrachtungen über die Stabilität der Bewegung an. Sind \(e, f, g\) die Hauptdilatationen, so ist die Energie \[ 2w = (m + n)(e^2 + f^2 + g^2) + 2( m - n)\; (fg + ge + ef). \] Dies ist wesentlich positiv unter der Voraussetzung \(n>0, m > \tfrac 13 n\). Handelt es sich, wie in unserem Falle, um eine zweidimensionale Bewegung, so kann \(g = 0\) gesetzt werden, und wir erhalten: \[ 2w = (m + n)(e^2 + f^2) + 2( m - n) ef, \] und das ist positiv, wenn \(m>0\), \(n>0\) ist. Den Schluss bildet eine kurze Notiz über die Schwingungsdauer bei Hohlcylindern.