Die Phoronomie der Lichtstrahlen in anisotropen, unkrystallinischen Medien im allgemeinen und in sphärischen Niveauflächen im besonderen. (Q1536265)

Das Medium sei in concentrischen sphärischen Niveauflächen nach Art der Atmosphäre symmetrisch um ein Kerncentrum \(C\) gelagert und von einem homogenen Medium umgeben. Sind \(y\) und \(\vartheta\) die Polarcoordinaten der ebenen Bahnlinie, \(n\) der (veränderliche) Brechungsindex, \(g\) eine Constante, so wird die Differentialgleichung der Trajectorie in die Form gebracht \[ ny^2 = g \left\{ y^2 + \left( \frac{dy}{d\vartheta} \right)^2 \right\}^{\tfrac 12}. \] Ist daher das Gesetz der Aenderung von \(n\) (die Indicialcurve) bekannt, so folgt die Differentialgleichung der Trajectorie: \[ \left( \frac{dy}{d\vartheta} \right)^2 = y^2 \left[ \frac{y^2 f^2 (y)}{r^2 N_1^2 \sin \tau_0^2} - 1 \right]. \] Ist umgekehrt die Trajectorie in Polarcoordinaten \(y\) und \(\vartheta\) gegeben, so ist das erforderliche Gesetz der Aenderung von \(n\) aus der ersten Formel direct zu entnehmen. Es werden hiervon verschiedene Anwendungen gemacht: I. Ableitung der Indicialcurve \(n = f(y)\) aus der Trajectorie \(F(y, \vartheta) = 0\). Beispiele: Trajectorie ist 1) Kardioide, 2) Ellipse, Hyperbel, Parabel. II. Ableitung der Trajectorie \(F(y, \vartheta) = 0\) aus der Indicialcurve \(n = f(y)\). Beispiele: \(1)\; n = by, \; 2) \; ny = b, \; 3) \; ny^{m + 1} = b, \; 4) \; ny = \sqrt{c^2 + y^2}, \; 5) \; n \sqrt{y^2 - a^2} = b, \; 6)\; nby = g \sqrt{2ay - y^2}\). Der letzte Fall liefert als Bahncurve eine Ellipse und veranlasst den Verfasser, die Analogie dieser Aufgabe mit der Planetenbewegugn genauer zu erforschen. III. Ableitung der Trajectorie \(F(x, y) = 0\) aus der Indicialcurve \(f(x, y) = n\). Hier sind die Niveauflächen eben oder auch circular-cylindrisch vorausgesetzt. Im letzteren Falle wird nur der Durchgang in einem Axenschnitte betrachtet. Die Differentialgleichung wird (\(N_1\) = Brechungindex der äussersten Schicht): \[ \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = \frac{a^2}{N_1 \sin \tau_0^2} - 1, \quad n \sin e_1 = N_1 \sin \tau_0. \] Nach zwei Beispielen, welche auf die Cykloide und die Sinusoide führen, wird die ältere Theorie der atmosphärischen Refraction (horizontale, ebene Niveauflächen), dann die neuere Theorie (concentrische Schichten mit gesetzmässig abnehmender Dichte) ausführlich vorgetragen.