Electromagnetic waves and oscillations at the surface of conductors. (Q1536277)

a) Die \(x\)-Componenten des Vectorpotentials, der elektrischen Kraft, der magnetischen Induction und der Stromdichte seien \(F_x, E_x, a_x, u_x\), die Dielektricitätsconstante, Leitungsfähigkeit, magnetische Permeabilität und Flächendichte \(\kappa, k, \mu, \sigma\). Die Maxwell'schen Gleichungen sind \[ (1) \quad \begin{cases} a_x = \frac{dF_z}{dy} - \frac{dF_y}{dz}, \quad E_x = - \frac{dF_x}{dt},\\ u_x = - \frac{1}{4\pi \mu}\;\Delta F_x = - \left( k + \frac{\kappa}{4\pi}\;\frac{d}{dt} \right) \frac{dF_x}{dt},\\ \frac{dF_x}{dx} + \frac{dF_y}{dy} + \frac{dF_z}{dz} = 0.\end{cases} \] An der Trennungsfläche zweier Medien ist, wenn \(n\) die vom ersten in das zweite gerichtete Normale, \(s\) eine beliebige Richtung in der Trennungsfläche bezeichnet, \[ (2) \quad E_s, \quad \tfrac{1}{\mu}\, a_s, \quad a_n \quad \text{continuirlich}, \quad \kappa E_n - \kappa_1 E_{1n} = - 4 \pi \sigma. \] Ist das zweite Medium ein vollkommener Leiter, so dringt die elektromagnetische Störung nur bis zu einer unendlich kleinen Tiefe \(\delta\) ein und bildet eine Stromschale; ist \(U_x\) die \(x\)-Componente des durch die der Fläche parallele Längeneinheit normal hindurchgehenden Stroms, also \(U_x = u_x \delta\), so ist \[ 4 \pi \mu u_x = \frac{da_z}{dy} - \frac{da_y}{dz}, \] also, wenn \(d\tau\) ein Volumenelement, \(dS\) ein Oberflächenelement der Schale bedeutet, \[ 4 \pi \mu \int u_x d\tau = 4\pi \mu \int U_x dS = \int (a_z \cos ny - a_y \cos nz)dS, \] \[ \int \left( \frac{du_x}{dx} + \cdots \right) d\tau = \int \left( \frac{dU_x}{dx} + \cdots \right) dS = \int u_n dS. \] Die Grenzbedingungen sind also hier \[ \text{(2a)} \quad \begin{cases} 4 \pi \mu U_x = a_z \cos ny - a_y \cos nz, \quad \frac{dU_x}{dx} + \cdots = u_n = \frac{d\sigma}{dt},\\ a_n = a_{1n} = 0, \quad \kappa E_n = - 4 \pi \sigma, \quad E_s = E_{1s} = 0.\end{cases} \] Im äusseren Medium fallen demnach \(E, F, u\) in die Normale der Leiterfläche, während \(a\) in der Fläche liegt und auf \(U\) senkrecht steht; die Wellenfläche, welche \(E\) und \(a\) enthält, ist mithin auf der Leiterfläche senkrecht. b) Der Verfasser wendet diese Gleichungen zunächst auf den Fall einer sich nach der \(x\)-Axe fortpflanzenden Wellenbewegung an. Es seien \(M_y\), \(M_z\), \(N =\frac{dM_z}{dy} - \frac{dM_y}{dz}\) Functionen von \(y\) und \(z, \alpha\) und \(\beta\) complexe Constanten, \(\gamma = \beta \mu (4\pi k + \beta \kappa)\); dann werden die Gleichungen (1) erfüllt durch \[ F_x = - \frac{1}{\alpha} \left( \frac{dM_y}{dy} + \frac{dM_z}{dz} \right) e^{\alpha x + \beta t}, \quad F_y = M_y e^{\alpha x + \beta t}, \quad F_z = M_z e^{x + \beta t}, \] \[ a_x = Ne^{\alpha x + \beta t}, \quad a_y = \frac{1}{\alpha} \left( \frac{dN}{dy} - \gamma M_z \right) e^{\alpha x + \beta t}, \] \[ a_z = \frac{1}{\alpha} \left( \frac{dN}{dz} + \gamma M_y \right) e^{\alpha x + \beta t}, \] \[ \Delta M_y + (\alpha^2 - \gamma) M_y = 0, \quad \Delta M_z + (\alpha^2 - \gamma) M_z = 0. \] Diese Gleichungen lassen sich auf eine Wellenbewegung an der Oberfläche eines der \(x\)-Axe parallelen cylindrischen Leiters anwenden; hier ist \(F_x = a_x = 0\), daher \[ \frac{dM_y}{dy} = - \frac{dM_z}{dz}, \quad \frac{dM_z}{dy} = \frac{dM_y}{dz}, \] \(M_y\) und \(M_z\) sind also conjugirte Functionen von \(y\) und \(z\), und es ist \(\alpha^2 - \gamma = 0\), mithin \[ F_x = 0, \quad F_y = M_y e^{\alpha x + \beta t}, \quad F_z = M_z e^{\alpha x + \beta t}, \] \[ a_x = 0, \quad a_y = - \alpha F_z, \quad a_z = \alpha F_y. \] c) Der Verfasser betrachtet weiter ebene Wellen, welche schief auf die Trennungsfläche zweier Medien, z. B. Luft und Eisen, fallen. Er findet eine sehr geringe Fortpflanzungsgeschwindigkeit senkrecht zur Oberfläche für die magnetischen Wellen im Eisen (32 cm bei einer Schwingungszahl 200), sowie eine sehr rasche Dämpfung mit wachsender Tiefe unter der Oberfläche.