Sulle forze elementari elettromagnetiche ed elettrodinamiche. (Q1536278)

a) Bekanntlich hat Stefan (Wien. Ber. LIX. 693-759, vgl. F. d. M. II. 1869-70. 798, JFM 02.0798.02) für die Kraft eines Stromelements \(ds\) auf ein anderes \(ds'\) eine Formel aufgestellt, welche unter der Voraussetzung, dass die Kraft durch \(ds'\) geht und dem reciproken Quadrat der Entfernung proportional ist, die grösstmögliche Allgemeinheit besitzt; dieselbe beruht auf den Annahmen, dass jedes der 2 Elemente sich durch seine longitudinale Componente (nach \(r\)) und seine transversale Componente (senkrecht gegen \(r\)) ersetzen lässt, und dass die Kraft mit Umkehrung des einen oder andern Stroms nur ihre Richtung umkehrt, woraus folgt, dass die Kraft der zwei longitudinalen und der zwei transversalen Elemente nach \(r\) gerichtet ist, die Kraft zwischen einem longitudinalen und einem transversalen Element parallel dem letzteren. Bezeichnet man die Richtungscosinus von \(ds\) und \(ds'\) mit \((\alpha, \beta, \gamma)\) und \(\alpha', \beta', \gamma')\) und setzt \(\varTheta = \angle (ds, r), \; \varTheta' = \angle (ds', r), \; \varepsilon = \angle (ds, ds')\), so ist hiernach die \(x\)-Componente der Kraft von \(ds\) auf \(ds'\): \[ \begin{aligned} 1) \quad \quad X & = \frac{ii' ds ds'}{r^2} \left[ (A - B - C - D) \cos \vartheta \cos \vartheta' \frac{dr}{dx'}\right.\\ & \left. + B \cos \varepsilon \frac{dr}{dx'} + C\alpha \cos \vartheta' + D \alpha' \cos \vartheta \right],\end{aligned} \] wo \(A, B, C, D\) Constanten sind, zwischen denen (bei elektromagnetischem Strommass) die Gleichungen stattfinden: \[ (2) \quad \quad A + C - D = 1, \quad B - C = -2. \] Von denselben Proncipien ausgehend, bestimmt der Verfasser zunächst die Kraft eines Stromelements \(ds\) auf einen Magnetpol \(m'\); dieselbe besteht aus der Kraft des longitudinalen Elements, welche nach \(r\) gerichtet ist, und der Kraft des transversalen Elements, welche auf \(r\) senkrecht steht und in eine auf der Ebene \((ds, r)\) senkrechte und eine in dieser liegende Componente zerfällt. Bezeichnen \(E, F, G\) Constanten, so sind diese drei Componenten \[ K_1 = E\;\frac{m' ids}{r^2}\;\cos \vartheta, \quad K_2 = - F\;\frac{m' ids}{r^2} \sin \vartheta, \quad K_3 = G\;\frac{m' ids}{r^2}\;\sin \vartheta, \] und die \(x\)-Componente der Kraft wird \[ (3) \quad \xi = \frac{m' ids}{r^2} \left[ (E - G) \cos \vartheta\;\frac{dr}{dx'} + G\alpha - F \left( \beta\;\frac{dr}{dz'} - \gamma\;\frac{dr}{dy'} \right) \right]. \] Ebenso ergiebt sich die Kraft eines Pols \(m\) auf ein Stromelement \(ds'\) im Punkte \((x', y', z')\) \[ \text{(3a)} \quad \xi' = \frac{mi' ds'}{r^2} \left[ (E' - G') \cos \varTheta' \frac{dr}{dx'} + G'\alpha' - F' \left( \beta'\;\frac{dr}{dz'} - \gamma'\;\frac{dr}{dy'} \right) \right]. \] Nach Gleichung (3) berechnet der Verfasser die Drehungsmomente der Kraft eines unendlichen geradliniegen Stroms auf ein magnetisches Molecül, dessen Axe in der Stromebene liegt und auf dem Strom senkrecht steht; soll, entsprechend der Erfahrung, die Axe dieses Kräftepaares dem Strom parallel sein, so muss \[ (4) \quad \quad \quad E + G = 0 \] sein, und bei elektromagnetischem Mass \[ \text{(4a)} \quad \quad \quad F = 1. \] Dieses Resultat bleibt dasselbe, mag man die Kraft eines Stromelements auf einen Pol am Pol oder am Stromelement angreifend annehmen; über diese Frage entscheidet also die Beobachtung nichts. b) Weiter untersucht der Verfasser die Beziehungen, welche zwischen den Constanten der Gleichungen (1) und (3) stattfinden müssen, wenn ein unendlich kleiner Strom und ein auf seiner Ebene senkrechtes magnetisches Molecül von äquivalentem Moment hinsichtlich der Wirkung, welche sie auf ein Stromelement ausüben oder von demselben erleiden, einander äquivalent sein sollen. Hinsichtlich der Kräfte auf ein Stromelement ergeben sich die Bedingungen \[ (5) \quad \quad E' = G' = 0, \quad F' = 1, \] was für die Kraft eines Pols auf ein Stromelement das Biot-Savart'sche Gesetz giebt; und \(A + C - D = 1, \; B - C = -2\), d. h. die Gleichungen (2). Die Identität der Kräfte und Kräftepaare eines Stromelementes auf einen Strom und ein magnetisches Molecül verlangt, wenn man die Kraft eines Stromelements auf einen Pol am Pol angreifend annimmt, \[ \text{(5a)} \quad \quad E = G = 0, \quad F = 1, \] \[ A = 0, \quad B = -1, \quad C = 1, \quad D = 0, \quad A - C + D = 1, \quad B - D = -2, \] welche letzteren Gleichungen nicht mit einander verträglich sind. Dagegen unter der Annahme, dass die Kraft eines Stromelements auf einen Pol am Stromelement angreift, ergeben sich wieder die Gleichungen (5a), d. h. das Biot-Savart'sche Gesetz, und \[ A = 1, \quad B = - 2, \quad C = D = 0, \quad A - C + D = 1, \quad B - D = -2, \] welche mit einander und mit den Stefan'schen Gleichungen (2) verträglich sind und das Ampère'sche Gesetz ausdrücken. Soll also ein magnetisches Molecül und ein Elementarstrom hinsichtlich der ponderomotorischen Wirkung, welche sie auf ein Stromelement ausüben oder von einem solchen erleiden, einander äquivalent sein, so muss für die Kraft zweier Stromelemente auf einander das Ampère'sche Gesetz, für die Kraft zwischen einem Stromelement und einem Magnetpol das Biot-Savart'sche Gesetz gelten, und die Kraft eines Stromelements auf einen Pol muss am Stromelement angreifen.