Sull' estensione del principio di d'Alembert all' elettrodinamica. (Q1536281)

Maxwell's Ableitung der elektrodynamischen Gleichungen aus den Grundgleichungen der Mechanik stützt sich auf das d'Alembert'sche Princip, d. h. auf den Begriff einer der Beschleunigung und Masse proportionalen bewegenden Kraft. Bei elektrodynamischen Vorgängen aber verliert dieser Begriff (wenigstens noch bei dem heutigen Stande unserer Kenntnisse) seinen klaren Sinn; an seine Stelle tritt das Ohm'sche Gesetz, d. h. der Begriff einer der Stromstärke und dem Widerstande \(R\) proportionalen elektromotorischen Kraft. In einem System von ponderabeln Massen \(m\), welche zum Teil lineare, von Strömen \(i\) durchflossene Leiter sind, und auf welche teils gewöhnliche äussere Kräfte \((X, Y, Z)\), teils äussere elektromotorische Kräfte \(E\) wirken, treten hiernach zu den geometrischen Variabeln \((x, y, z)\) oder \(q\) noch elektrische Variabeln \(r\) hinzu, deren jede den Zustand eines der Ströme bestimmt, derart dass in einem durch die elektromotorische Kraft \(E\) unterhaltenen Strom die bei einer Aenderung \(\delta r\) geleistete Arbeit \(= E \delta r\) ist; es muss also Gleichgewicht stattfinden nicht zwischen den gewöhnlichen Reactions-Kräften \(X - m\ddot x\) etc., sondern zwischen diesen und den elektrischen Reactions-Kräften \(E - Ri\), sodass die Gleichung des d'Alembert'schen Princips die Form annimmt \[ (1) \quad 0 = \varSigma [(X - m \ddot x) \delta x + \cdots + (E - Ri) \delta r]. \] Soll aber diese Gleichung sich nicht in die gewöhnlichen mechanischen Gleichungen und in die Gleichung des Ohm'schen Gesetzes auflösen, so müssen die Coordinaten eines Teils der Massen \(m\), nämlich derjenigen, welche das die Stromenergie fortpflanzende Medium bilden, zugleich von den \(q\) und den \(r\) abhängig sein. Setzt man \(\varSigma X \delta x + \cdots = L\) und bezeichnet mit \(T\) die kinetische Energie der Massen \(m\), ausgedrückt als homogene quadratische Function der \(\dot q\) und \(\dot r\), deren Coefficienten Functionen der \(q\) und \(r\) sind, so geht durch die Annahme \(\delta = d\) die Gleichung (1) über in \[ dL + \varsigma E dr = dT + \varSigma Ri dr, \] wo \(dL + \varSigma E dr\) die Arbeit sämtlicher äusseren Kräfte ist; die Arbeit der elektrischen Kraft \(E\) am Strom \(i\) ist \(Edr = Eidt\), folglich \(\dot r = i\), wodurch die Gleichung übergeht in \[ dL + \varsigma E idt = dT + \varSigma Ri^2 dt, \] welche das Princip der Energie ausdrückt. Da in allgemeinen Coordinaten \(q\) \[ \varSigma m (\ddot x \delta x) + \cdots ) = \varSigma \left[ - \frac{dT}{dq} + \frac{d}{dt} \left( \frac{dT}{d\dot q} \right) \right] \delta q + \varSigma \left[ - \frac{dT}{dr} + \frac{d}{dt} \left( \frac{dT}{d\dot r} \right) \right] \delta r \] ist, so geht, wenn man \(\delta L = \varSigma F \delta q\) setzt, die Gleichung (1) über in \[ (2) \quad \quad F = \frac{d}{dt} \left( \frac{dT}{d\dot q} \right) - \frac{dT}{dq}\,, \quad E - Ri = \frac{d}{dt} \left( \frac{dT}{d\dot r} \right) - \frac{dT}{dr}\,. \] \(T\) lässt sich in zwei Teile zerlegen, \(T = T_1 + T_2\), von denen der erste die kinetische Energie der ponderabeln Massen darstellt und eine blosse Function der \(q\) und \(\dot q\) ist, während der zweite, die kinetische Energie des die elektrische Energie fortpflanzenden Mediums, von den \(\dot q\) und \(r\) unabhängig, also eine quadratische Function der \(i\) ist, deren Coefficienten Functionen der \(q\) sind. Dadurch gehen die Gleichungen (2) über in \[ F + \frac{dT_2}{dq} = \frac{d}{dt} \left( \frac{dT_1}{d\dot q} \right) - \frac{dT_1}{dq}, \quad E - Ri = \frac{d}{dt} \left( \frac{dT_2}{d i} \right). \] \(T_2\) ist also das elektrodynamische Potential.