Sur l'équivalence des courants et des animants. (Q1536287)

Der Verf. wendet in dieser Abhandlung die Formeln an, welche er in zwei früheren Abhandlungen (Acta Soc. Scient. Fennicae, Helsingfors, 1887 und 88) aus der Theorie des thermodynamischen Potentials abgeleitet hat. In einem Raum \(\tau'\) möge sich einmal ein Stromsystem mit den Componenten \(u_x, u_y,u_z\), das andere Mal eine magnetische Verteilung mit den Momenten \(m_x, m_y, m_z\) befinden; es sei (ich gebrauche soviel als möglich die Maxwell'schen Bezeichnungen) \[ (1) \quad \begin{cases} F_x = \int \frac{u_x'}{r}\;d \tau', \quad a_x = \frac{dF_y}{dz} - \frac{dF_z}{dy}, \quad P_x = \int \frac{m_x'}{r} d\tau',\\ F_x^m = \frac{dP_y}{dz} - \frac{dP_z}{dy},\\ U_x = \frac{1 + \lambda}{2}\;F_x + \frac{1 - \lambda}{2} \int \frac{1}{r}\;\frac{dr}{dx} \left(u_x'\;\frac{dr}{dx} + \cdots \right) d \tau', \end{cases} \] wo \(\lambda\) die Helmholtz'sche Constante, \(F_x^m\) die \(x\)-Componente des Vectorpotentials des Magneten bezeichnet; das Potential des Magneten ist \[ \text{(1a)} \quad \quad V = \int \left(m_x'\;\frac{d \frac{1}{r}}{dx'} + \cdots \right) d \tau'. \] Für die \(x\)-Componente der Kraft des Stromsystems auf ein äusseres, im Punkte \((xyz)\) befindliches Stromelement \(d\tau\) mit den Componenten \(u_x\) etc. findet der Verfasser, wenn \(A\) eine Constante bezeichnet, \[ (2) \quad \begin{cases} X = X_1 + X_2,\\ X_1 = A (a_y u_z - a_z u_y) d \tau, \quad X_2 = - AU_x \left( \frac{du_x}{dx} + \cdots \right) d \tau,\end{cases} \] wo \(X_1\) das Grassmann'sche Gesetz ausdrückt. Für das Potential der Kraft des Stromsystems auf ein äusseres magnetisches Molecül \(d\tau\) setzt er, wenn \(H\) eine Constante bezeichnet, \[ (3) \quad \quad Q = - H (a_x m_x + \cdots ) d \tau, \] woraus sich eine an dem magnetischen Molecül angebrachte Kraftcomponente \(\xi = \xi_1 + \xi_2\) und ein Kräftepaar ergiebt; \(\xi_1\) und das Kräftepaar entsprechen dem Biot'schen Gesetze, während \(\xi_2\) von \(\int \left( \frac{du_x'}{dx'} + \cdots \right) \frac{d\tau'}{r}\) abhängt. Das Potential des Magneten auf ein äusseres magnetisches Molecül \(d\tau\) ist, wenn \(h\) eine Constante bezeichnet, \[ (4) \quad W = h \left(m_x\;\frac{dV}{dx} + \cdots \right) d \tau. \] Für die Kraftcomponente des Magneten auf ein äusseres Stromelement \(d\tau\) setzt der Verfasser: \[ (5) \quad \begin{cases} {\mathfrak y}={\mathfrak y}_1 + {\mathfrak y}_2,\\ {\mathfrak y}_1 = H \left( u_y\;\frac{dV}{dz} - u_z\;\frac{dV}{dy} \right) d \tau, \quad {\mathfrak y}_2 = HF_x^m \left(\frac{du_x}{dx} + \cdots \right)d\tau,\end{cases} \] wo \(\mathfrak y\) wieder dem Biot'schen Gesetze entspricht. Soll nun das Stromsystem dem Magneten in seiner Wirkung auf ein äusseres magnetisches Molecül äquivalent sein, so muss \(Q = W\) sein, also \[ (6) \quad \quad a_x = - \frac{h}{H}\;\frac{dV}{dx} \quad \text{etc.,} \] d. h. die Grössen \(a_x, a_y, a_z\) müssen im ganzen äussern Raume die Differentialquotienten einer gewissen Function sein, welche dann das äussere Potential \(V\) des Magneten ist; einem gegebenen Werte von \(V\) entsprechen unendlich viele magnetische Verteilungen. Ist der äussere Raum einfach zusammenhängend, so genügen für die Möglichkeit der Gleichungen (6) die Bedingungen \(\frac{da_x}{dy} = \frac{da_y}{dx}\) etc., welche sich, wenn man \[ (7) \quad J = \int \left( \frac{du_x'}{dx'} + \cdots \right) \frac{d\tau'}{r} \] setzt, leicht umformen lassen in \(J\) = Const. oder, da im Unendlichen \(J = 0\) sein muss, in \[ \text{(7a)} \quad \quad \quad J = 0. \] Unter dieser Bedingung wird nach dem Obigen die Wirkung des Stromsystem dem Magneten in seiner Wirkung auf ein äusseres gleichförmiges Stromsystem (d. h. ein solches, welches der Gleichung \(\frac{du_x}{dx} + \cdots = 0\) genügt) äquivalent sein, so muss \(X_1 = {\mathfrak y}_{1}\) etc. sein, also \[ (8) \quad \quad \quad a_x = - \frac{H}{A}\;\frac{dV}{dx} \quad \text{etc.,} \] woraus sich wieder die Bedingung (7a) ergiebt: die Wirkung des Stromsystems auf ein Stromelement wird dann durch das Grassmann'sche Gesetz ausgedrückt.