Die Absorption elektrischer Schwingungen in Elektrolyten. (Q1536295)

Es sei \(\sigma\) die Stromdichte, \(K\) die in einem Punkte wirkende elektromotorische Kraft, \(dQ\) die in der Volumeneinheit in der Zeiteinheit entwickelte Wärme, \(dL\) die Vermehrung der lebendigen Kraft der Ionen; dann ist die von der Kraft \(K\) in der Volumeneinheit in der Zeit \(dt\) geleistete Arbeit \(= K \sigma dt = dQ + dL\); ist nun \(K\) periodisch, mithin auch \(L\), so wird für eine hinreichend lange Zeit \(\int dL = 0\), folglich \[ \text{(1)} \quad Q = \int_0^t K\sigma dt. \] Es fragt sich nun, ob bei sehr grosser Schwingungszahl von \(K Q\) noch mit einer der Beobachtung entsprechenden Genauigkeit durch das Joule'sche Gesetz, also \(\sigma\) durch das Ohm'sche Gesetz ausgedrückt wird, da in einem Elektrolyten mit der Elektricität zugleich ponderable Massen bewegt werden. Es seien \(u_1\) und \(u_2\) die Geschwindigkeiten der zwei Ionen, \(N\) die Anzahl Gramm-Aequ. des Elektrolyten in der Volumeneinheit, \(\eta\) die mit der Elektricitätseinheit verbundene Anzahl Gramm-Aequ. eines jeden Ions, dann ist \[ \sigma = \frac{N}{\eta} (u_1 + u_2), \quad Q = Q_1 + Q_2, \quad Q_1 = \frac{N}{\eta} \int_0^t Ku_1 dt, \] \[ Q_2 = \frac{N}{\eta} \int_0^t Ku_2 dt. \] Ist nun \(F_1\) die auf die Masseneinheit des ersten Ions vom Aequivalentgewicht \(A_1\) wirkende ponderomotorische Kraft, so ist \[ \text{(2)} \quad K = A_1 \eta F_1, \] wo \(F_1\) eine Function von \(u_1\) ist. Um diese zu bestimmen, werde zunächst \(K\) und also auch \(F_1\) constant angenommen; dann wird nach unmessbar kurzer Zeit auch \(u_1\) constant \(= U_1\), und zwar proportional \(K\) oder \(F_1\); es muss daher in diesem Falle der \(F_1\) entgegenwirkende Widerstand proportional \(u_1\) sein, also \[ \text{(3)} \quad \frac{du_1}{dt} = F_1 - \frac{u_1}{a_1}, \; \text{woraus} \; u_1 = a_1 F_1 (1 - e^{- \frac{t}{a_1}}), \; \text{also}\; U_1 = a_1 F_1. \] Sind nun \(U = U_1 + U_2, \; \sigma_0\) die stationäre Stromdichtigkeit, \(n_1\) und \(n_2\) die Ueberführungszahlen der Ionen, wo \(n_1 + n_2 = 1\), so ist \[ \frac{U_2}{U_1} = \frac{n_2}{n_1}, \quad \sigma_0 = \frac{N}{\eta}\;U, \quad \text{woraus} \quad U_1 = n_1 U = n_1\;\frac{\eta \sigma_0}{N}, \] also \[ a_1 = \frac{U_1}{F_1} = \frac{\eta^2 \sigma^0}{NK_0}\;A_1 n_1 = \frac{\eta^2 k}{N}\;A_1 n_1, \] wo \(k = \frac{\sigma_0}{K_0}\) das specifische Leitungsvermögen. Nimmt man jetzt den Ausdruck \(\frac{u_1}{a_1}\) für den Widerstand, mithin die Gleichung (3) auch bei variabler Kraft \(K = C \sin \nu t\) als gültig an, so folgt aus (3) \[ u_1 = \frac{C}{A_1 \eta}\;\frac{a_1}{1 + \nu^2 a_1^2}(\sin \nu t - a_1 \nu \cos \nu t) + De^{- \frac{t}{a_1}}, \] daher mit Weglassung der periodischen Glieder \[ \text{(4)} \quad Q_1 = t\;\frac{C^2 k}{2}\;\frac{n_1}{1 + a_1^2 \nu^2}, \quad Q = t\;\frac{C^2 k}{2} \left( \frac{n_1}{1 + a_1^2 \nu^2} + \frac{n_2}{1 + a_2^2 \nu^2} \right). \] Solange also \(a_1 \nu\) und \(a_2 \nu\) gegen 1 verschwinden, erhält man für \(Q\) denselben Wert \(\frac{C^2 k}{2}\;t\), wie bei Gültigkeit des Ohm'schen Gesetzes, wo \(\sigma = Kk\), folglich \[ Q = kC^2 \int_0^t \sin^2 \nu t dt = \tfrac 12\, k C^2 t \] ist. Dies war bei den Versuchen von J. J. Thomson (Proc. Roy. Soc. 1889) der Fall, wo \(\nu = 6.10^8\) war; dagegen bei Schwingungszahlen von der Ordnung der Lichtschwingungen \((\nu = 10^{15})\) würde \(Q\) kleiner sein.