A comparison of the electric theory of light and Sir W. Thomson's theory of a quasi-labile aether. (Q1536316)

Bekanntlich verschwindet nach der Elasticitätstheorie des Lichts die longitudinale Welle, wenn man ihre Geschwindigkeit gleich 0 annimmt, also einer gewissen Constante des Aethers den Wert 0 beilegt. Der Verfasser zeigt, dass unter dieser Voraussetzung die Gleichungen der Lichtbewegung mit denen der elektrischen Theorie für den Fall, wo die elektrische Verschiebung \(f\) der solenoidalen Bedingung \[ \text{(1)} \quad \frac{df_x}{dx} + \frac{df_y}{dy} + \frac{df_z}{dz} = 0 \] genügt, identisch sind, nur dass das, was in der einen Theorie eine Verschiebung bedeutet, in der anderen eine Kraft bezeichnet. Sind \(u_x, u_y, u_z\) die Componenten eines Vectors \(u\), so mögen mit \(u'\) und \(u''\) zwei andere Vectoren bezeichnet werden, deren Componenten zu denen von \(u\) in der Beziehung stehen \[ u_x' = \frac{du_z}{dy} - \frac{du_y}{dz}, \quad u_x^{\prime\prime} = \frac{du_z'}{dy} - \frac{du_y'}{dz} = - \varDelta u_x + \frac{d}{dx} \left(\frac{du_x}{dx} + \cdots \right). \] Diese Gleichungen lassen sich auch zusammenfassen in der Form \[ u' = C(u), \quad u'' = CC (u), \] (\(u' = \text{curl\,}u\) nach der englischen Bezeichnungsweise). Ist nun \(u\) die Verschiebung nach der Elasticitätstheorie, so ist unter der obigen Voraussetzung die Kraft des umgebenden Aethers auf ein Volumenelement \(d\tau\) \[ K = bCC (u) d\tau, \quad \text{d. h.} \quad K_x = - b u_x^{\prime\prime} d \tau \quad \text{etc.,} \] wo \(b\) (die ``rigidity'' des Aethers) eine im freien wie im mit Materie erfüllen Aether gleiche Constante ist. Im freien Aether muss \(K\) gleich der bewegenden Kraft des Aethervolumens \(d\tau\) sein, also, wenn \(\varrho\) die Dichtigkeit des Aethers ist, \[ (2) \quad \varrho \ddot u = - b CC (u). \] Ist ponderable Materie vorhanden, und nimmt man \(u\) als eine complexe trigonometrische Function der Zeit an, so ist, um diese Bewegung im Volumen \(d\tau\) aufrecht zu erhalten, eine äussere Kraft nötig, deren Componenten lineare Functionen von \(u_x, u_y, u_z\) oder auch von \(\ddot u_x\) etc. sind, und welche durch \(b \psi (\ddot u)d \tau\) ausgedrückt werden möge; dies giebt die Bewegungsgleichungen \[ \text{(3)} \quad \psi (\ddot u) = - CC (u). \] An der Trennungsfläche zweier Medien, welche senkrecht auf der \(z\)-Axe stehen möge, müssen \(u_x^{\prime\prime}, u_y^{\prime\prime}, u_z^{\prime\prime}\) endlich bleiben, da sonst \(\psi(\ddot u)\) endlich werden würde; es müssen daher \(u_x, u_y\) und \(u_x', u_y'\) continuirlich sein; dann sind auch \(u_z'\) und \(u_z^{\prime\prime}\) continuirlich. Bezeichnen wir also mit \(n\) die Normale der Trennungsfläche, mit \(s\) eine beliebige Richtung in ihr, so müssen continuirlich sein \[ \text{(3a)} \quad u_s, \;[\psi (u)]_n, \quad \text{alle Componenten von} \quad C(u). \] In der elektrischen Theorie seien \(\dot f_x\) etc. die Stromcomponenten, \(F_x = \int \dot f_x \frac{d\tau}{r}\) etc. die Componenten des Vectorpotentials, \(Q\) das elektrostatische Potential, also \(-\dot F_x - \frac{dQ}{dx}\) die elektromotorische Kraft; die äussere elektromotorische Kraft, welche nötig ist, um die Schwingung von \(f\) aufrecht zu erhalten, sei \(4\pi \varphi (f)\), wo \(\varphi\) eine analoge Function wie \(\psi\) ist. Die Gleichungen sind also \[ \text{(4)} \quad - \int \ddot f_x\;\frac{d\tau}{r} - \frac{dQ}{dx} = 4 \pi [\varphi (f)]_{x} \quad \text{etc.} \] oder unter der Bedingung (1) \[ (5) \quad \ddot f = - CC \varphi (f). \] An der Trennungsfläche ist \(F_x\) und \(Q\) continuirlich, folglich nach (4) auch \([\varphi(f)]_s\); ferner ist \(C(F)\), da es die Magnetkraft bezeichnet, folglich auch \(C \varphi(f)\) continuirlich; und aus (1) folgt, dass \(f_n\) continuirlich ist. An der Grenzfläche sind also continuirlich \[ \text{(5a)} \quad [\varphi (f)]_s, \;f_n, \;\text{alle Componenten von} \; C \varphi (f). \] Die Gleichungen (3), (3a) und (5), (5a) sind mit einander identisch, wenn man setzt \[ \text{(6)} \quad f = \psi (u), \quad u = \varphi(f), \] womit die obige Behauptung bewiesen ist. Die Abhandlung enthält noch weitere Betrachtungen über die Energie nach beiden Theorien.