On the magnetic effects produced by motion in the electric field. (Q1536323)

a) Der Verfasser betrachtet ein Dielektricum (Aether), welches eine stationäre Bewegung mit den Geschwindigkeits Componenten \((u_x, u_y, u_z)\) hat und in welchem sich eine elektrisirte Kugel mit den constanten Geschwindigkeits-Componenten \((u_x^1, u_y^1, u_z^1)\) bewegt. Die Componenten der elektrischen Verschiebung im Dielektricum sollen der Gleichung \[ \text{(1)} \quad \frac{df_x}{dx} + \frac{df_y}{dy} + \frac{df_z}{dz} = 0 \] genügen, und der Aether wird als incompressibel angenommen, sodass \[ \text{(2)} \quad \frac{du_x}{dx} + \frac{du_y}{dy} + \frac{du_z}{dz} = 0. \] Würde die zeitliche Aenderung der elektrischen Verschiebung in einem bestimmten Punkte des Aethers nur dadurch hervorgebracht, dass dieser Punkt sich relativ zur Kugel in einen andern Punkt, in welchem die elektrische Verschiebung einen andern Wert hat, bewegt, und setzt man \(u_x - u_x^1 = v_x\) etc., so wären die Stromcomponenten \((\xi_1, \eta_1, \zeta_1)\) \[ \xi_1 = v_x\;\frac{df_x}{dx} + v_y\;\frac{df_x}{dy} + v_z\;\frac{df_x}{dz} \quad \text{etc.} \] Diese Werte würden aber nicht der Gleichung \(\frac{d\xi_1}{dx} + \cdots = 0\) genügen, denn es ist \[ \frac{d\xi_1}{dx} + \cdots = \frac{d}{dx} \left(f_x\;\frac{d}{dx} + \cdots \right) u_x + \frac{d}{dy} \left( f_x\;\frac{d}{dx} + \cdots \right) u_y + \frac{d}{dz} \left(f_x\;\frac{d}{dx} + \cdots \right) u_z. \] Sollen also die Ströme geschlossen sein, so muss man noch Stromcomponenten \((\xi_0, \eta_0, \zeta_0)\) hinzufügen, wo \[ \xi_0 = - \left( f_x\;\frac{d}{dx} + \cdots \right) u_x; \] dann sind die ganzn Stromcomponenten \[ \text{(3)} \quad \xi = \xi_1 + \xi_0 = \frac{d}{dy} \left( v_y f_x - v_x f_y \right) - \frac{d}{dz} \left( v_x f_z - v_z f_x \right). \] Die relative Bewegung des Aethers gegen die Kugel erzeugt also eine Magnetkraft \(\alpha\) mit den Componenten \[ \text{(4)} \quad \frac{\alpha_x}{4\pi} = v_z f_y - v_y f_z = (u_z - u_{z}^{1}) f_y - (u_y - u_y^1) f_z. \] Sind mehrere bewegte elektrisirte Körper vorhanden, von denen irgend einer die Geschwindigkeit \(u^s\) besitzt und eine elektrische Verschiebung \(f^s\) erzeugt, und ist \(f\) die resultirende elektrische Verschiebung, so ist \[ \frac{\alpha_x}{4\pi} = u_z f_y - u_y f_z - \sum_s (u_z^s f_y^s - u_y^s f_z^s). \] Um diese Magnetkraft zu erklären, würde man in dem Ausdruck für die elektrokinetische Energie eines bewegten Dielektricums, wenn \(a\) die magnetische Induction bezeichnet, ein Glied \[ a_x [(u_z f_y - u_y f_z) - \sum_s (u_z^s f_y^s - u_y^s f_z^s)] + \cdots \] anzunehmen haben; daraus würde eine elektromotorische Kraft \[ E_x = a_z u_y - a_y u_z \] und, wenn die elektrisirten Körper sich in Ruhe befinden, eine ponderomotorische Kraft \[ X = \left( a_z\;\frac{df_y}{dt} - a_y\;\frac{df_z}{dt} \right) + \left(f_y\;\frac{da_z}{dt} - f_z\;\frac{da_y}{dt} \right) \] folgen, deren erstes Glied der bekannte Ausdruck für die ponderomotorische Kraft auf einen Strom im Magnetfelde ist. b) Der Verfasser wendet das Vorstehende zunächst auf den Fall an, wo eine mit einer Elektrocitätsmenge \(e\) geladene Kugel vom Radius \(a\) sich mit der Geschwindigkeit \(w_0\) auf der \(z\)-Axe bewegt und den Aether ebenso in Bewegung setzt, wie eine feste Kugel eine incompressible Flüssigkeit. Dann ist bekanntlich in der Entfernung \(r\) vom Mittelpunkte der Kugel \[ u_x = \tfrac 12\, w_0 a^3\;\frac{d^2 \frac{1}{r}}{dxdz}, \quad u_y = \tfrac 12\, w_0 a^3\;\frac{d^2 \frac{1}{r}}{dy dz}, \quad u_z = \tfrac 12 \,w_0 a^3\;\frac{d^2 \frac 1r}{dz^2}, \] \[ f_x = \frac{e}{4\pi}\;\frac{d \frac{1}{r}}{dx} \quad \text{etc.}, \] also nach Gleichung (4) \[ \alpha_x = ew_0 \left( 1 + \frac{a^3}{2r^3} \right) \frac{y}{r^3}, \quad \alpha_y = - e w_0 \left( 1 + \frac{a^3}{2r^3} \right) \frac{x}{r^3}, \quad \alpha_z = 0. \] Die magnetischen Kraftlinien sind also Kreise um die \(z\)-Axe; in einer Entfernung, welche gross ist gegen den Radius der Kugel, ist die Magnetkraft gleich der eines Stromes \(ew_0\). c) Schliesslich betrachtet der Verfasser noch den Fall einer schwingenden elektrisirten Metallkugel im ruhenden Aether.