Über einige Probleme der Theorie der Wärmeleitung. (Q1536371)

Die erste der behandelten Aufgaben ist diese: Ein Eisprisma, dessen Temperatur überall \(0^{\circ}\) ist, nimmt durch eine Grundfläche von einer Wärmequelle mit der constanten Temperatur \(a\) Wärme auf; nach einer Zeit \(t\) besteht das Prisma bis zu einer Höhe \(h\) aus Wasser, dessen Temperatur von \(a\) bis 0 abnimmt. Zu bestimmen ist die Temperatur \(u\) in der Entfernung \(x\) vom erwärmten Ende der Säule und die Höhe \(h\) zur Zeit \(t\). Den Bedingungen der Aufgabe wird genügt durch \[ u = A . \int_{\frac{x}{2\sqrt{kt}}}^{\alpha} e^{-z^2}dz \quad \text{und} \quad h = 2\alpha\cdot \sqrt{kt}, \] wo \(k\) den Quotienten aus dem Wärmeleitungsvermögen \(K\) und der specifischen Wärme \(c\) der Volumeneinheit des Wassers bedeutet, die Constanten \(A\) und \(\alpha\) aber durch die Gleichungen bestimmt sind: \[ a = A. \int_0^{\alpha} e^{-z^2}dz \quad \text{und} \quad \alpha . e^{- \alpha^2} \int_0^{\alpha} e^{-z^2} dz = \frac{a.c}{2.\lambda}. \] (\(\lambda\) ist die Schmelzwärme der Volumeneinheit des Eises). Die zweite Aufgabe ist folgende: Ein Wasserprisma von der Temperatur \(a\) und ein Eisprisma von der Temperatur \(-a'\) berühren sich zur Zeit 0 mit einer Grundfläche und erstrecken sich von hier nach entgegengesetzten Richtungen bis ins Unendliche: es ist für die Zeit \(t\) der Ort der Berührungsfläche und die Temperaturverteilung zu bestimmen. Von den erhaltenen Resultaten will der Verf. Anwendung machen zur Berechnung von Diffusionsversuchen.