On a curious relation between Pappus and Kepler. (Q1536576)

Herr Günther berichtet hier über einen Satz von Kepler, der, in moderne Sprache übersetzt, die Formel \[ \int_0^\varphi \sin{} \varphi d \varphi = 1 - \text{cos} \varphi \] enthält. Ueber diesen Gegenstand hat Kepler zweimal gehandelt. An der ersten Stelle begnügt er sich mit einem empirischen Beweis; er zeigt nämlich, indem er seine trigonometrischen Tafeln benutzt, dass \[ \sin{} 1^{\circ} + \sin{} 2^{\circ}+\sin{} 3^{\circ} +\cdots + \sin{}89^{\circ} + \sin 90^{\circ} \] nicht allzuviel von \(\sin\text{vers\,}90^\circ=100,000\) verschieden ist, und dass der Satz sich auch in einem andern Falle annähernd verificiren lässt. An der zweiten Stelle aber giebt er, mit Anwendung eines Lemma von Pappus, die Gründe an, warum die Summa aller Sinus, wenn die Differenz der Bogen unendlich klein wird, dem Sinusversus in aller Strenge gleich sei, also \[ \lim_{n=\infty} \sum_{r=1}^{r=n}\;\sin{} \frac{\varphi_r}{n} = \text{sinvers\,}\varphi . \] Was die eigentliche Herleitung dieses Satzes betrifft, so hat Kepler sie nur andeutungsweise gegeben; zwar hat Frisch versucht, den wahrscheinlichen Weg Kepler's zu ermitteln, aber Herr Günther weist nach, dass dieser Versuch eine entschiedene Schwäche hat, und begnügt sich mit der Thatsache, dass Kepler wirklich eine Summation vollzogen hat, die einer modern Integration genau entspricht.