What are the meaning and the purpose of numbers? (Q1536630)

In der neueren Zeit tritt das Bestreben mehrfach hervor, der Arithmetik eine festere Grundlage zu geben. Auch die vorliegende Schrift verfolgt diesen Zweck in einer eigenartigen Weise, sie geht von vornherein von dem Princip aus, dass die Lehre von den ganzen Zahlen und ihren Verknüpfungen einen Teil der reinen Logik zu bilden habe, führt aber dasselbe weit eingehender und präciser durch, als dies bisher je geschehen sein dürfte. Der Standpunkt des Verfassers wird am besten mit seinen eigenen Worten gekennzeichnet: ``Die Zahlen sind freie Schöpfungen des menschlichen Geistes, sie dienen als ein Mittel, um die Verschiedenheit der Dinge leichter und schärfer aufzufassen. Durch den rein logischen Aufbau der Zahlenwissenschaft und durch das in ihr gewonnene stetige Zahlenreich sich wird erst in den Stand gesetzt, unsere Vorstellungen von Raum und Zeit genau zu untersuchen, indem wir dieselben auf dieses in unserem Geiste geschaffene Zahlenreiche beziehen''. Der Verfasser sieht bei seinen Darlegungen von specifischen mathematischen Kenntnissen völlig ab, er wendet sich demgemäss an jeden Gebildeten. Trotzdem lässt sich wohl nicht leugnen, dass er der Abstractionskraft des Lesers im Ganzen mehr zumutet, als irgend eine rein mathematische Schrift. Zum Teil liegt die Schwierigkeit des Verständnisses in der Form der Darstellung, die nach dem classischen Muster der Alten den ganzen Stoff in einer grossen Anzahl ganz allmählich fortschreitender Sätze bewältigen will. So gross daher die Deutlichkeit im Einzelnen ist, so ist doch andererseits, da hier jede geometrische Anschauung fehlt, eine grosse Ausdauer nöthig, um die Fortschritte der leitenden Gedanken im Ganzen übersehen zu können. Zum Teil aber ist es auch die grosse Allgemeinheit der Grundauffassung des Autors. Dieselben Grundlagen reichen, wie dem Referenten scheint, auch hin, um auch weit höhere Mannigfaltigkeiten, als die der Zahlen, geeignet zu ordnen. Naturgemäss würden sich dadurch, bei ausdrücklicher Beschränkung auf die gewöhnlichen Zahlen, manche Vereinfachungen ergeben. Es kann demnach auch der Zweck dieser Zeilen nur sein, einige Grundzüge der Schrift deutlich hervorzuheben. Unter einem ``Ding'' soll irgend ein Gegenstand unseres Denkens verstanden sein. Fasst man eine Reihe von Dingen unter irgend einem gemeinsamen Gesichtspunkte zusammen, so erscheinen sie als die ``Elemente'' eines ``Ganzen''. Nach Aussonderung irgend welcher dieser Elemente verbleibt noch ein ``Teil'' des Ganzen. Zwei derartige Inbegriffe an Dingen werden auf einander ``bezogen'', indem ihre beideseitigen Elemente ein-eindeutig einander zugeordnet werden; ist das ausnahmslos möglich, so besitzen beide Inbegriffe (Mengen) ``gleiche Mächtigkeit''. Ehe nun an die Aufgabe herangetreten wird, die Elemente eines Ganzen zu ordnen und die verschiedenen unter ihnen möglichen Verknüpfungsgesetze aufzusuchen, wird die Unterscheidung zwischen ``unendlichen'' und ``endlichen'' Mengen gelehrt. ``Ein Inbegriff von Dingen ist unendlich, wenn er mit einem Teile seiner selbst gleiche Mächtigkeit besitzt, im andern Falle dagegen endlich''. Hier erscheint also der Begriff des Unendlichen als das Ursprüngliche, Unmittelbare, der des Endlichen als das Abgeleitete, die Beschränkung, der Gegensatz zum Unendlichen. Es erweist sich als nicht schwer, diese Auffassung einer endlichen Menge mit den üblichen, empirischen in Einklang zu bringen. Freilich ist jetzt Nichts mehr anschauliche Selbstverständlichkeit, sondern jede scheinbar triviale Aussage bedarf eines stricten Beweises. Andererseits wird nunmehr die Definition des Unendlichen auf die Menge der natürlichen ganzen Zahlen angewandt. Dazu hat man nur die ganze Zahlenreihe um eine Einheit vorwärts zu schieben, so dass der Eins die Zwei, der Zwei die Drei etc. zugeordnet wird. Beide Reihen besitzen offenbar gleiche Mächtigkeit, trotzdem sie sich um das Element Eins unterscheiden. Das System der ganzen Zahlen ist also ein unendliches, da es mit einem Teile seiner selbst gleiche Mächtigkeit besitzt. Umgekehrt lässt sich nur in diesem Sinne das Reich der ganzen Zahlen von untenauf begründen: man hat von einem unendlichen Inbegriff von Dingen auszugehen mit der besonderen Eigenschaft, dass Element für Element einem solchen Teile seiner selbst zugeordnet werden kann, der sich von dem ursprünglichen Ganzen nur durch Fehlen eines einzigen Elements unterscheidet. Dieses ausgezeichnete Element, die ``Einheit'', geht durch die vorausgesetzte Zuordnung über in ein anderes, die ``Zwei'', dieses in die ``Drei'' u. s. f. Um von dem dabei zu Grunde liegenden Begriff einer ``kettenförmigen Anordnung'' zu den weiteren Verknüpfungen zwischen den Elementen übergehen zu können, wird jener Kettenbegriff zuvor einer Verallgemeinerung unterworfen, die immer da eintritt, wo ein ursprüngliches System auf einen Teil von sich u. s. w. ``bezogen'' wird. Für unsere Vorstellung allerdings sinken die gemeinhin Zahlen genannten Dinge vermöge der erwähnten Abstractionen zu blossen Schatten herab, dafür sind sie aber auch aller subjectiven Willkür entzogen, und , strengen rein logischen Regeln unterworfen, bieten sie für den Arithmetiker völligen Ersatz für jene populären Zahlen. Inwiefern freilich rückwärts die Uebertragung der durch empirische Welt möglich wird -- auf diese, in die Psychologie hinübergreifende Frage lässt sich der Verfasser mit Absicht nicht ein.