Once again on points representing the roots of an equation and its derivative. (Q1536678)

Fortsetzung der früheren Untersuchungen des Verfassers über denselben Gegenstand, nämlich über die abgeleiteten Wurzelpunkte (Siehe F. d. M. XVI. 1884. S. 76, JFM 16.0076.01). Zunächst wird die Aufgabe von einem allgemeinen Gesichtspunkt aufgefasst, insofern das regelmässige Vieleck, auf welches die Wurzelpunkte sich beziehen, durch ein anderes ersetzt wird, welches in und um zwei Kreise beschrieben werden kann, und alsdann werden die Wurzelpunkte die Eckpunkte eines willkürlichen Vielecks, welches in und um zwei Kegelschnitte beschrieben werden kann. Ebenso wie bei der früheren Betrachtung beginnt Verfasser mit einigen statischen Eigenschaften in Bezug auf das Gleichgewicht von Kräften, welche an den Eckpunkten eines Vielecks angreifen. Von da kehrt er zu seinem Gegenstand mit dem Satz zurück, dass jeder Wurzelpunkt der Abgeleiteten einer Gleichung charakterisirt wird als ein solcher Punkt, an dem Kräfte, welche nach allen Wurzelpunkten der Gleichung selbst gerichtet und umgekehrt proportional den Abständen von diesen Punkten sind, einander das Gleichgewicht halten. Der wichtigste Satz, zu dem Verfasser gelangt, ist der folgende: Wenn die Wurzelpunkte einer Gleichung die Eckpunkte eines in und um einen Kegelschnitt beschriebenen Vielecks sind, und die Potenzen von je zwei aufeinander folgenden Wurzelpunkten sich wie die anliegenden Segmente verhalten, in welche ihre Seite durch den Berührungspunkt geteilt wird, so bestehen die Wurzelpunkte der abgeleiteten Gleichung, ausser den ursprünglichen Wurzelpunkten, aus den Brennpunkten der Kegelschnitte, welche, sei es den Seiten, sei es den Diagonalen derselben Ordnung des Vielecks eingeschrieben werden können; hierzu kommt für den Fall eines geraden Vielecks noch der gemeinschaftliche Durchschnittspunkt seiner Hauptdiagonalen. In einer Nachschrift wird dieser Hauptsatz der Untersuchung nochmals erweitert und auf analytischem Wege durch Liniencoordinaten ausgedrückt.