On certain inequalities relating to prime numbers. (Q1536852)

Der Verfasser erläutert zuerst eine Methode, durch welche man beweisen kann, dass die Anzahl der Primzahlen unendlich ist; in ähnlicher Weise zeigt er dann, dass die Anzahl der Primzahlen von der Form \(4n+3\) und \(6n+5\) unendlich ist (ohne dabei der Dirichlet'schen Untersuchungen Erwähnung zu thun). Eine der erwähnten Ungleichheiten ist \[ S_1-\frac 12 S_2+\frac 13 S_3-\frac 14 S_4+\dotsm > \log \log N, \] worin \(S_i\) die Summe der reciproken \(i^{\text{ten}}\) Potenzen aller Primzahlen bedeutet, die nicht grösser als die Zahl \(N\) sind. Ebenso ist \[ \Sigma_1-\tfrac 12 \Sigma_2 +\tfrac 13 \Sigma_3-\tfrac 14 \Sigma_4+\dotsm > \tfrac 12 \log \log N+ \tfrac 12 \log M_N-\tfrac 12 \log 2, \] worin \(\sum_i\) die Summe der reciproken \(i^{\text{ten}}\) Potenzen aller Primzahlen \(q_j\) von der Form \(4n+3\) bezeichnet, welche nicht über \(N\) hinausgehen, und (\(q_{N.q}\) bedeutet die Anzahl dieser \(q_j\)) \[ M_N=\left( 1-\frac{1}{q_1^2} \right) \left( 1-\frac{1}{q_2^2} \right) \dotsm \left( 1-\frac{1}{q_{N.q}^2} \right). \] Aehnlich ist für die Primzahlen von der Form \(6n+5\): \[ \varTheta_1+\tfrac 12 \varTheta_2+\tfrac 13 \varTheta_3-\tfrac 14 \varTheta_4 + \dotsm >\tfrac 12 \log \log N +\tfrac 12 \log M_N-\tfrac 12\log 3. \] Hierauf folgen Bemerkungen über das Wesen des Euklidischen Beweises für die Unendlichkeit der Anzahl der Primzahlen, mit Bezug auf eine Mitteilung des Verfassers in den C. R. desselben Jahres; ferner über einige Euler'sche Formeln und Beweise derselben von Mertens, wobei die Arbeit von Gram (F. d. M. XVI. 1884. 146, JFM 16.0146.03) erwähnt wird; endlich über die Grenzen, innerhalb deren die Summe der Logarithmen aller über \(N\) nicht hinausgehenden Primzahlen liegt, wobei auf Tschebyscheff's bezügliche Formeln und auf einen Aufsatz des Verfassers im Phil. Mag. XVI. 251 (1883) verwiesen wird.