On the divisors of the sum of a geometrical series whose first term is unity and common ratio any positive or negative integer. (Q1536878)

Ueber die Divisoren des Ausdrucks: \[ \frac{r^p-1}{r-1} \,. \] Aus diesem Aufsatze werde zunächst eine neue Benennung erklärt. Alle algebraischen Divisoren des Ausdrucks (Fermatiane bekannt) sind auch Divisoren eines anderen von niederem Grade mit Ausnahme eines einzigen. Dieser eine, so zu sagen der ``Kern'' (core) oder gewöhnlich der irreducible primitive Factor genannt, wird als ``cyklotomische'' Function oder ``Cyklotom'' der Basis bezeichnet. Der mit Hülfe dieser Bezeichnung bewiesene Satz lautet; ``Die Summe einer geometrischen Reihe, deren erstes Glied 1 und deren Quotient irgend eine positive oder negative, von 1 oder \(-1\) verschiedene ganze Zahl ist, muss wenigstens ebenso viele verschiedene Primdivisoren enthalten, wie die Anzahl ihrer Glieder Divisoren aller Arten enthält; ausgenommen ist der Fall, wenn der Quotient \(-2\) oder 2 und die Anzahl der Glieder gerade im ersten Falle, 6 oder ein Vielfaches von 6 im anderen ist, in welchen Fällen die Anzahl der Primdivisoren im 1 geringer sein kann als im allgemeinen Falle''. Den Anstoss zu dieser Untersuchung haben die Sätze über die ungeraden vollkommenen Zahlen gegeben.