Nota su alcune somme di potenze e di prodotti. (Q1536879)

Ist \(p\) eine ungerade Primzahl, und bezeichnet man durch \(\pi_n\) irgend ein \(n\)-äres Product der Zahlen 1, 2, \(\dots\), \(p-1\), durch \(\sum\pi_n\) die Summe aller solchen Producte, u. s. w., so werden die folgenden Sätze bewiesen: \[ \begin{aligned} & 1. \quad \sum_{i=1}^{p-1}i^k \equiv \begin{matrix}\l\\ 0 \\ 1 \end{matrix} (\text{ mod.} p) \text{ für } k\equiv \begin{aligned} & 1, 2, \dots, p-2 \\ & 0 \end{aligned} \quad (\text{mod.} p-1).\\ & 2. \quad \sum \pi_k\equiv \begin{matrix} 0 \\ -1 \end{matrix} (\text{ mod.} p) \text{ für } k= \begin{aligned} & 1, 2, \dots, p-2 \\ & p-1\end{aligned}\\ & 3. \quad \sum\;\frac {1}{\pi_k} \equiv 0 (\text{mod.} p\;)\text{ für } k=1,2, \dots , p-2.\\ & 4. \quad \sum \pi_k^{p-1} \equiv \begin{matrix}\r\\ -1 \\ 1 \end{matrix} \;(\text{ mod.} p)\;\text{ für }\;k=\begin{aligned} & 1, 3,\dots, p-2 \\ & 2, 4, \dots, p-1\end{aligned}\,.\end{aligned} \] Dazu ist Folgendes zu bemerken: Die Sätze 1, 2 sind nicht neu (siehe: Serret, Cours d'alg. Sup. V. éd. N. 302); ferner kann man den zweiten aus dem ersten durch die Newton'schen Formeln ganz einfach ableiten. Der Satz 3 ist nicht correct ausgesprochen, denn \(\sum \frac{1}{\pi_k}\) ist keine ganze Zahl; man muss sagen: Ist der Bruch \(\sum \frac{1}{\pi_k}\) auf seine einfachste Form gebracht, so ist der Zähler durch \(p\) teilbar. Endlich möge erwähnt werden, dass der vom Verfasser aufgestellte Beweis des Wilson'schen Satzes nicht neu ist; er ist nämlich mit dem von Wertheim (Elemente der Zahlentheorie, Leipzig 1887, S. 186) für den verallgemeinerten Wilson'schen Satz angegebenen identisch.