Ueber die arithmetischen Sätze, welche Lejeune Dirichlet in seiner Breslauer Habilitationsschrift entwickelt hat. (Q1536899)

Die Primteiler jeder Form zweiten Grades sind durch gewisse Linearformen charakterisirt; bei \(x^n\pm 1\) findet, wie Euler zeigt, dasselbe statt; Dirichlet führt dieselbe Eigentümlichkeit bei den Formen \(U_n, V_n\), welche durch \((x+\sqrt z)^n=U_n+V_n\sqrt z\) definirt werden, an und bestimmt die Primteiler von \(V_n\), falls \(n\) Primzahl und von \(U_n\), falls \(n\) Potenz von 2 ist. Herr Kronecker behandelt das Problem mit Hülfe von Modulsystemen auf rein arithmetischem und ganz im absoluten Rationalitätsbereiche der gewöhnlichem Zahlen bleibendem Wege, und löst es in überraschend einfacher Weise für jedes \(n\) und \(z\). Statt der \(V_n\) betrachtet er den ``primitiven'' Teiler \(G_n\) von \(V_n\) (durch den dann auch das Problem der \(U_n\) gelöst wird), und setzt diesen mit der merkwürdigen Congruenz in Verbindung \[ \prod_r (x-z^r)\equiv F_n(x) \quad (\text{mod. } F_n(z)), \] wobei \(F_n\) das Polynom der primitven \(n^{\text{ten}}\) Einheitswurzeln bedeutet, und \(r\) ein vollständiges System (mod. \(n\)) incongruenter Zahlen durchläuft, die zu \(n\) relativ prim sind. Hierdurch gelingt es, die Primteiler \(q\) von \(G_n\), welche nicht in \(n\) enthalten sind, mittels der Congruenz \(q\equiv \left( \frac sq \right)\) (mod. \(n\)) zu charakterisiren.