Some remarks on the representation of irrational numbers by continued fractions (Q1536932)

Der Verfasser geht von dem Erfahrungssatz aus, dass bei der Entwickelung einer Irrationalzahl \(u<1\) in den Kettenbruch \[ u=\frac{1\qquad}{a_1+\frac{1\qquad\qquad}{a_2+\dotsm}} \] die Quotienten \(a_x\) gewöhnlich nicht grosse Zahlen seien. Dies führt ihn zu der Frage, ob es für eine gegebene Zahl \(a\) eine Wahrscheinlichkeit giebt, sie als Quotienten anzutreffen. Hier fehlt durchaus eine nähere Begriffsbestimmung dieser Wahrscheinlichkeit; denn zu sagen, dass die Zahl \(u\) ``zufällig'' (par hasard) genommen sei, hat keinen hinreichend genauen Sinn. Es ist nicht ersichtlich, wie der Verfasser sich diesen Uebergang zur Grenze denkt, den man machen muss, wenn man den Begriff der Wahrscheinlichkeit auf unendlich viele und sogar nicht abzählbare Dinge ausdehnen will; ebensowenig, wenn gesagt wird: On a développé plusieurs nombres irrationnels pris occasionnellement (in Kettenbrüche). Dem Menschen ist es schlechterdings unmöglich, eine Irrationalzahl ``zufällig'' zu nehmen. Er muss sich an einer endlichen Anzahl von Ziffern in der dekadisch geschriebenen Zahl genügen lassen, was zur Folge hat, dass der Zufall nur bei der Wahl der ersten Ziffern spielen kann, während er später völlig ausgeschlossen ist durch die thatsächliche Wahl von lauter Nullen. Der Verfasser, welcher die von ihm gewählten ``Irrationalzahlen'' nicht anführt, teilt eine Tabelle mit, welche einerseits die theoretisch ausgerechneten, andererseits die wirklich erhaltenen Resultate kurz zusammenstellt, wobei sich eine grosse Uebereinstimmung zeigt. Wenn scharfe, das Wort Zufall hier ersetzende Begriffe an die Spitze der Untersuchung gestellt würden, so würde sich ganz unzweifelhaft ergeben, dass die Wahrscheinlichkeit für das Vorhandensein einer bestimmten Zahl unter den \(a\) ganz von der Wahl dieser Begriffe abhängt, genau so, wie man durch Umstellung der Summanden einer convergenten Reihe, deren absolute Werte aber eine divergirende Reihe bilden, jeden Wert darstellen kann, oder auch gar keinen.