Sull' equilibrio di un filo flessibile ed inestensibile. (Q1537054)

Der Verfasser behandelt von neuem die Analogie zwischen dem Problem der Fadencurven und der Bewegung eines Punktes (zuletzt von Herrn Appell beleuchtet in Toulouse Ann. I, F. d. M. XIX. 1887. 919, JFM 19.0919.01). Vertauscht man die Grössen der ersten Zeile mit den darunter stehenden der zweiten: \[ \begin{matrix}\l \quad & \l\quad & \l\quad & \l\quad & \l\quad & \l \quad & \l\\ x, & y, & z, & s, & T\;\frac{dx}{ds}, & T\;\frac{dy}{ds}, & T\;\frac{dz}{ds}; \\ q_1, & q_2, & q_3, & t, & p_1, & p_2, & p_3; \end{matrix} \] (deren Bedeutung die bekannte ist), setzt ferner \(H=T+U\), so gehen die Gleichgewichtsbedingungen für den Faden über in \[ (3)\quad \frac{dq_i}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p_i},\quad \frac{dp_i}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial q_i},\qquad (i=1,2,3), \] Gleichungen, welche mit den Bewegungsgleichungen in der Hamilton'schen Form zusammenfallen. Die Integration von (3) wird dann weiter zurückgeführt auf die von \[ (4)\quad \left(\frac{\partial W}{\partial q_1}\right)^2+\left(\frac{\partial W}{\partial q_2}\right)^2+\left(\frac{\partial W}{\partial q_3}\right)^2=(U+h)^2. \] Bestimmt man aus dieser Gleichung eine vollständige Lösung mit den willkürlichen Constanten \(\alpha_1\), \(\alpha_2\), \(h\), so sind die ersten Integrale der Gleichgewichtsfigur \[ \frac{\partial W}{\partial q_1}=p_1,\quad \frac{\partial W}{\partial q_2}=p_2,\quad \frac{\partial W}{\partial q_3}=p_3, \] die letzten: \[ \frac{\partial W}{\partial \alpha_1}=\beta_1,\quad \frac{\partial W}{\partial \alpha_2}=\beta_2,\quad \frac{\partial W}{\partial \alpha_3}=\beta_3, \] Die ersten zwei geben die Gleichungen der Gleichgewichtscurve. Der Verfasser erläutert zuletzt diese Methode, indem er sie in vollem Umfange auf die gewöhnliche Kettenlinie anwendet.