Anwendung der Abel'schen Functionen auf ein Problem der Statik biegsamer unausdehnbarer Flächen. (Q1537055)

Das allgemeine Problem, von welchem der Verfasser bereits in seiner Dissertation (``Ueber das Gleichgewicht biegsamer unausdehnbarer Flächen'', F. d. M. XV. 1888. 797, JFM 15.0797.01) einen speciellen Fall gelöst hat, formulirt er hier wie folgt: ``Es ist ein aus einem biegsamen, unausdehnbaren, homogenen Material gefertigtes Stück einer Ebene gegeben, welches von zwei geraden Strecken \(AB\) und \(CD\) und zwei deren Endpunkte verbindenden krummen Linien \(AC\) und \(BD\) begrenzt ist. Mit den begrenzenden Geraden wird dieses Gebilde (oder ``Tuch'') in zwei Geraden \(AB\) und \(\varGamma\varDelta\) befestigt. Von all den Lagen, in welche das Gebilde dann noch gebracht werden kann, soll diejenige bestimmt werden, in welcher es unter dem Einfluss der Schwere unveränderlich verharren kann''. Der von Herrn K. aufgestellte Satz, durch welchen das Problem mit einer ebenen Kettenlinie in Zusammenhang tritt, ist schon in dem Berichte über die Dissertation a. a. O. abgedruckt worden. In ihr war der Fall behandelt worden, dass das Tuch die Gestalt eines ebenen Sectors \(BOD\) hat, begrenzt von den Geraden \(OB,OD\) und geschlossen entweder von einem Kreisbogen \(BD\) mit \(O\) als Mittelpunkt, oder von einer Geraden \(BD\). Beide Fälle führten zu Lösungen, in welche elliptische Functionon eingingen. Für einen beliebigen Sector ist übrigens der oben erwähnte Satz dahin zu modificiren, dass die Schwerpunktscurve einer Gleichgewichtslage des Tuchs identisch ist mit derjenigen Gleichgewichtslage des Schwerpunktsfadens, welche sich ergiebt, wenn jeder Punkt des letzteren gezwungen ist, auf einer bestimmten um \(O'\) beschriebenen Kugel zu bleiben, deren Radius (abgesehen von dem Falle, dass die Curve \(BD\) ein Kreis ist) von Punkt zu Punkt variirt (S. 46). In der gegenwärtigen Arbeit integrirt der Verfasser die Differentialgleichung (S. 47) \[ (2)\quad A\;\frac{\psi+\psi''}{\sqrt{(1-\psi-\psi'^2)^3}}=\varrho_1^3 \] (\(\varrho_1^3\) der Radiusvector, \(\psi\) eine Function des Polarwinkels \(\varphi\)), von der die Lösung der Aufgabe abhängt, für den Fall eines beliebigen Kegelschnittes mit dem Centrum \(O\), also für einen Fall, welcher die früher untersuchten speciellen Fälle umschliesst. Die Rechnung, deren Einzelheiten in der Abhandlung selbst nachgelesen werden müssen, wird in geschickter Weise auf eine Reihe von Differentialen geführt. ``Alle diese Differentiale lassen sich in einfacher Weise durch eine von Herrn Weierstrass eingeführte rationale Function zweier Wertepaare \(x'y',xy\) darstellen, welche beide dem durch die Gleichung \[ y^4-2y^2(\alpha x+\beta)+x(x-\kappa)(x-\lambda)=0 \] definirten Gebilde vom Range 3 angehören''. Diese Function, von Herrn Weierstrass mit \(H(x'y',xy)\) bezeichnet, wird durch Herrn Kötter den sonstigen Bedingungen gemäss construirt und bildet den Mittelpunkt seiner analytischen Entwickelungen, durch welche zuletzt die Coordinaten entsprechender Randpunkte als Functionen eines Parameters, die Coordinaten beliebiger Punkte als Functionen zweier Parameter dargestellt werden. Bedenkt man, dass die Akademie der Wissenschaften für das Jahr 1867 die Preisfrage gestellt hatte, nach welcher ``irgend ein bedeutendes Problem mit Hülfe der elliptischen oder der Abel'schen Transcendenten vollständig gelöst werden'' sollte, und dass damals eine Arbeit (Ueber eine specielle Minimalfläche von H. A. Schwarz), welche die elliptischen Transcendenten verwendete, gekrönt wurde, so muss man sich einerseits freuen, dass gegenwärtig die Kenntnis der Abel'schen Transcendenten eine allgemeinere geworden ist, andererseits aber auch, dass es dem Geschick des Herrn Kötter gelungen ist, das von ihm aufgestellte Problem mit Hülfe jener Theorie vollständig zu lösen und damit eine durchgeführte Anwendung der Abel'schen Transcendenten zu liefern.