Sul teorema di Poisson. (Q1537091)

Wenn man von den Bewegungsgleichungen in der kanonischen Form \[ \frac{dq_s}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p_s},\quad \frac{dp_s}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial q_s}, \] wo \(H=T-U\) ist, \(T\) die halbe lebendige Kraft, \(U\) die Kräftefunction bezeichnet, zwei Integrale \(H=h_1\text{ und }H=h_2\) kennt, die unabhängig von der Zeit und nach den willkürlichen Constanten gelöst sind, so giebt die Combination \(H=(H_1,H_2)=h_3\) ein neues Integral der Bewegungsgleichung mit der willkürlichen Constante \(h_3\). Hier steht nach Poisson (J. de l'Éc. Pol. cah. XV. 266) das Symbol \((H_1,H_2)\) für \[ \sum_{s=1}^{s=n}\left( \frac{\partial H_1}{\partial p_s}\cdot\frac{\partial H_2}{\partial q_s}-\frac{\partial H_1}{\partial q_s}\cdot\frac{\partial H_2}{\partial p_s}\right). \] Aus diesem Satze hatte Poisson schon gefolgert, dass, wenn zwei Flächenintegrale bestehen, auch das dritte vorhanden ist. Herr Marcolongo stellt nun ähnliche Betrachtungen über die Integrale bezüglich des Schwerpunktes an (nach Jacobi, Vorlesungen über Dynamik, S. 271). Als einzigen neuen Satz findet er: Wenn bei einem dynamischen Problem das Flächenintegral bezüglich einer der Coordinatenebenen und das Schwerpunktsintegral bezüglich einer der Axen dieser Ebene besteht, so besteht auch das entsprechende Integral für die andere Axe dieser Ebene. Folglich: Wenn bei einem mechanischen Problem zwei Flächenintegrale und ein Schwerpunktsintegral bestehen, so sind auch das dritte Flächenintegral und die beiden anderen Schwerpunktsintegrale vorhanden. Die Combinationen eines Schwerpunktsintegrales mit dem Integrale der lebendigen Kraft oder einem anderen Schwerpunkts- oder Flächenintegrale ergeben kein neues Resultat.