Sur les mouvements giratoires des fluides. (Q1537181)

Sind bei einer symmetrischen Flüssigkeitsbewegung um eine Axe \(u,v,w\) die Componenten der Geschwindigkeit in Richtung des Radius, der Kreistangente und der Axe, so sind die Componenten der Wirbelbewegung bestimmt durch die Gleichungen \[ 2A=-\frac 1r\;\frac{\partial(vr)}{\partial z},\quad 2B=\frac{\partial u}{\partial z}-\frac{\partial w}{\partial r},\quad 2C=\frac 1r\;\frac{\partial(vr)}{\partial r}, \] und die Differentialgleichungen der Wirbellinien lauten \[ \frac{dr}{-\frac{\partial(vr)}{\partial z}}=\frac{r^2d\theta}{\frac{\partial u}{\partial z}-\frac{\partial w}{\partial r}}=\frac{dz}{\frac{\partial(vr)}{\partial r}}, \] von welchen sich unmittelbar das eine Integral \[ vr=\omega r^2=\text{const}. \] ergiebt. Sind die Projectionen der Wirbellinien concentrische Kreise, so ist \(A\) gleich Null; sind die Wirbellinien selbst Kreise, so ist \(A=C=0\), und \(vr=\omega r^2\) hat in dem ganzen Gebiet denselben Wert. Nach einem bekannten Satze ändert sich die Drehungsgeschwindigkeit so, dass sie proportional mit dem Product ans der Dichtigkeit und der Entfernung zweier benachbarten Teilchen der Wirbellinie bleibt. Es hat also in dem eben bezeichneten Falle für jede Wirbellinie der Ausdruck \[ \frac{\frac{\partial u}{\partial z}-\frac{\partial w}{\partial r}}{\varrho r} \] einen von der Zeit unabhängigen Wert. Bei einer incompressiblen Flüssigkeit kann also, wenn in einem Augenblick dieser Ausdruck für alle Wirbellinien denselben Wert hat, \[ \frac{\partial u}{\partial z}-\frac{\partial w}{\partial r}=2kr \] gesetzt werden, wo \(k\) einen constanten Factor bezeichnet. Die Gleichung der Continuität lautet hier \[ \frac{\partial u}{\partial r}+\frac{\partial w}{\partial z}+\frac ur=0. \] Man kann also \[ u=\frac 1r\;\frac{\partial\varphi}{\partial z},\quad w=-kr^2-\frac 1r\;\frac{\partial\varphi}{\partial r} \] setzen, wo \(\varphi\) der Gleichung \[ \frac{\partial^2\varphi}{\partial z^2}+\frac{\partial^2\varphi}{\partial r^2}-\frac 1r\;\frac{\partial\varphi}{\partial r} \] genugt. Lösungen dieser Gleichung sind \[ \varphi=b((z+a)^2-r^2\log r)\text{ und }\varphi=-b\sqrt{r^2+(z+a)^2}. \] Bei der zweiten Lösung liegen die Trajectorien der Teilchen auf den Rotationaflächen \[ \tfrac 14\,kr^4-b\sqrt{r^2+(z+a)^2}=\text{const}. \] Die aufsteigende Bewegung wird von der absteigenden getrennt durch die Fläche \[ r^2\sqrt{r^2+(z+a)^2}=\tfrac bk\,. \]