Sur le mouvement d'un solide dans un liquide. (Q1537191)

Der Verfasser schickt der Behandlung des durch den Titel bezeichneten Gegenstandes eine eingehende Untersuchung über die Darstellung der Rotation eines festen Körpers durch elliptische Functionen voraus. Er geht aus von der Thatsache, dass die Ausdrücke \[ \frac{\sigma(u-\omega_\alpha)\sigma(v-\omega_\alpha)}{\sigma(u)\sigma(v)}\;e^{\eta_\alpha(u+v-\omega_\alpha)},\quad C\;\frac{\sigma(u+v-\omega_\alpha)\sigma(\omega_\alpha)}{\sigma(u)\sigma(v)}\;e^{\eta_\alpha(u+v-\omega_\alpha)}, \] \[ \frac 1C\;\frac{\sigma(u-v-\omega_\alpha)\sigma(\omega_\alpha)}{\sigma(u)\sigma(v)}\;e^{\eta_\alpha(u-v-\omega_\alpha)} \] die Eigenschaften haben, welche den Ausdrücken \[ \cos(az),\quad \cos(ax)+i\cos(ay),\quad \cos(ax)-i\cos(ay) \] zukommen, wenn \(x,y,z\) drei auf einander senkrecht stehende Richtungen bezeichnen, \(a\) eine vierte Richtung. Legt man dem index \(a\) seine drei Werte bei, so gelangt man zu drei Richtungen \(a,b,c\), von denen zunächst nachgewiesen wird, dass sie senkrecht auf einander stehen, so dass die genannten Formeln dazu dienen, die Bewegung eines Coordinatensystemes gegen ein anderes zu bestimmen. Der zweite Abschnitt ist rein analytisch und behandelt die Zerlegung von gewissen Summen in Producte. Dieselben gelangen zur Anwendung im III. Abschnitt, welcher von der Zusammensetzung zweier der eben bezeichneten Bewegungen handelt, d. h. von der gegenseitigen Bewegung zweier Coordinatensysteme, die sich gegen ein drittes in der eben bezeichneten Weise bewegen. Im Abschnitt IV. wird der Nachweis geführt, dass durch die bezeichneten Formeln, wenn \(u\) eine lineare Function der Zeit ist, eine Poinsot'sche Bewegung dargestellt wird, d. h. eine Bewegung, welche durch das Rollen einer Ebene auf einer Fläche zweiter Ordnung repräsentirt werden kann, die gezwungen ist, in einem constanten Abstande von dem Mittelpunkte der Fläche zu bleiben. Der V. Abschnitt definirt den Begriff der Concordanz zweier Poinsot'schen Bewegungen. Der Abschnitt VI. behandelt eine Form der Umkehrung elliptischer Integrale. Nach diesen Vorbereitungen gelangt der Verfasser im VII. Abschnitt zu seinem eigentlichen Probleme. Es werden die Kirchhoff'schen Differentialgleichungen angegeben, und zwar in der Form, welche Clebsch ihnen gegeben hat, indem er die Componenten der impulsiven Einzelkraft und des impulsiven Kräftepaares als abhängige Veränderliche einführte; die drei allgemeinen Integrale werden angeführt. In dem Falle, welchen der Verfasser weiter behandelt, nämlich wenn \(2T\) die Form \[ p(x_1^2+x_2^2)+p'x_3^2+2q(x_1y_1+x_2y_2)+2q'x_3y_3+r(y_1^2+y_2^2)+r'y_3^2 \] hat, existirt, wie Clebsch nachgewiesen hat, ein viertes algebraisches Integral \(y_3=\) const. In Folge dessen lässt sich mit Hülfe des Theorems vom letzten Multiplicator die Auffindung der beiden noch fehlenden Integrale auf Quadraturen zurückführen. Zunächst lässt sich \((\frac{dx_3}{dt})^2\) als ganze Function vierten Grades von \(x_3\) darstellen, so dass das vorliegende Problem auf elliptische Functionen führt. Die Grössen \(x_1\pm ix_2\) fordern eine Quadratur, weil ja \(x_1^2+x_2^2\) sich ohne Quadratur aus dem Integral \[ x_1^2+x_2^2+x_3^2=\text{const}. \] berechnen lässt. Ferner lassen sich aus dem Integral der lebendigen Kraft und aus \(x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3=\text{const}.\) \(y_1+iy_2\), \(y_1-iy_2\) ohne weitere Quadratur bestimmen. Indem die Axe des Impulses zur \(z\)-Axe im Raume genommen wird, erhält man zunächst die Richtungscosinus der im Körper festen Axen zu der letzteren, und daraus dann nach kurzer Rechnung die Richtungscosinus der Hauptaxe des Körpers gegen die beiden anderen im Raume festen Axen. Zwei von den Coordinaten des in dem Körper festen Anfangspunktes sind ohne Quadratur zu finden, die dritte führt auf Integrale zweiter Gattung. Eine erste Betrachtung der gewonnenen Formeln führt auf das Resultat, dass die Bewegung zusammengesetzt werden kann aus: 1) einer Schraubenbewegung um die Axe des Impulses, 2) einer Rotation um die Axe des Körpers und 3) einer periodischen Bewegung. Es werden nun zunächst die Constanten discutirt, namentlich die Elemente der elliptischen Darstellung durch die gegebenen Constanten ausgedrückt. Ein Vergleich der Formeln für die Richtungscosinus mit denjenigen, welche für die Zusammensetzung der Bewegung zweier Poinsot'schen Bewegungen aufgestellt sind, führt nun zunächst zu einer Zerlegung der in Frage stehenden Bewegung in zwei einfachere, von denen die eine direct eine Poinsot'sche ist, während die andere sich zerfällen lässt in eine Poinsot'sche Bewegung und in eine Rotation um eine Axe. So gelangt der Verfasser zu dem folgenden bemerkenswerten Theorem: ``Beschreiben zwei Axensysteme \(X,Y,Z\) und \(X_1,Y_1,Z_1\) um die gemeinschaftlichen Symmetrieaxen zweier Flächen zweiter Ordnung in Concordanz befindliche Poinsot'sche Bewegungen, dreht sich ferner ein drittes System von Axen \(A,B,C\), dessen dritte Axe stets mit der \(Z_1\)-Axe zusammenfällt, um die letztere mit der Geschwindigkeit \[ \frac{d\varPsi}{dt}=M\cos(Z_1Z), \] so stellt bei passender Wahl der Constanten \(M\) die relative Bewegung von \(A,B,C\) gegen \(X,Y,Z\) die Rotation des festen Körpers bei der Bewegung in der Flüssigkeit dar. Ist der Körper ein Rotationskörper, so wird \(M=0\) und die Bewegung zerfällt dann nur in zwei Poinsot' sche Bewegungen.''