Beitrag zur Lehre von der Bewegung eines festen Körpers in einer incompressiblen Flüssigkeit. (Q1537192)

Der Verfasser dehnt einige der Resultate, die Dirichlet für eine in einer incompressiblen Flüssigkeit sich bewegende, homogene Kugel gefunden hat, auf den Fall aus, in dem die Massenverteilung der Kugel nicht mehr homogen ist. An Stelle der Kugel kann zugleich ein beliebiger Körper treten, der zwei sich schneidende Symmetrieaxen besitzt, in denen sich je zwei Paare von Symmetrieebenen unter rechtem Winkel schneiden, d. h. ein Körper, der den hydrodynamischen Charakter der Kugel hat. Die Untersuchung, die zu mehreren interessanten Resultaten führt, stützt sich auf die von Kirchhoff für die Bewegung eines Körpers in einer Flüssigkeit aufgestellten Gleichungen [Journ. für Math. LXXI, F. d. M. II. 1869-1870. 731, JFM 02.0731.01; vergl. auch Kirchhoff, Mechanik, Vorlesung 19, und Kirchhoff, Gesammelte Abhandlungen, p. 376]. Sind \(u,v,w\) die Geschwindigkeiten, welche der Anfangspunkt eines im Körper festen rechtwinkligen Coordinatensystems parallel diesen Axen besitzt, \(p,q,r\) die Drehungsgeschwindigkeiten des Körpers um diese Axen, so muss der Teil der lebendigen Kraft, welcher von der Flüssigkeit herrührt, die Form haben: \[ \tfrac 12\{M'(u^2+v^2+w^2)+L(p^2+q^2+r^2)\}. \] Daraus ergiebt sich, dass der Einfluss der Flüssigkeit auf die Bewegung des festen Körpers derselbe ist, als wäre mit dem Körper eine Masse \(M'\) verbunden, deren Schwerpunkt der Kugelmittelpunkt und deren drei Trägheitsmomente gleich \(L\) sind. Führt man diese fictive Masse \(M'\), die als mitgeführte Masse bezeichnet wird, an Stelle der Flüssigkeit ein, wählt dann den Schwerpunkt \(S\) der so erhaltenen Gesamtmasse zum Anfangspunkt des im Körper festen Systems, die Hauptträgheitsaxen dieses Punktes zu Coordinatenaxen, so nimmt die lebendige Kraft des ganzen Systems die Form an \[ T=\tfrac 12\{(M+M')(u^2+v^2+w^2)+P_1p^2+Q_1q^2+R_1r^2\}. \] Aus dieser Form von \(T\) folgt, wenn man zu einem im Raume festen Axensystem übergeht, folgendes Resultat: ``Bei der Bewegung eines festen Körpers, dessen Gestalt den hydrodynamischen Charakter einer Kugel hat, in einer incompressiblen, reibungslosen unendlichen Flüssigkeit beschreibt ein gewisser zwischen seinem Mittelpunkt und seinem Schwerpunkt gelegener Punkt (der obige Punkt \(S\)) dieselbe Bahn, welche der Schwerpunkt eines aus der eignen und der mitgeführten Masse gebildeten Körpers unter Einfluss derselben äusseren Kräfte im leeren Raume beschreiben würde''. Dies Resultat wird auf die Fälle angewandt, wo keine äussere Kraft wirkt, oder wo allein die Schwere wirkt; im letzteren Falle wird durch das Vorhandensein der Flüssigkeit nur die Constante der Beschleunigung verringert. In den beiden genannten speciellen Fällen wird auch die zu der fortschreitenden Bewegung hinzukommende Rotation des Körpers discutirt. Wirken keine Kräfte, so erfolgt die Rotation ebenso wie im leeren Raume. In einer schweren Flüssigkeit dagegen rotirt der Körper in derselben Weise wie im leeren Raume ein gewisser schwerer Körper rotiren würde, von welchem ein vom Schwerpunkt verschiedener Punkt befestigt ist.