Über constante Schraubenbewegungen eines starren Körpers in einer Flüssigkeit. (Q1537193)

Der Verfasser beschäftigt sich mit der Lösung der Frage über die Stabilität der constanten Schraubenbewegungen eines starren Körpers in einer Flüssigkeit, d. h. solcher Bewegungen, wo die Axe der Schraube unbeweglich, die Winkelgeschwindigkeit und der Schraubengang constant sind. Über die Flüssigkeit werden hier dieselben Annahmen gemacht, wie von Kirchhoff bei der Ableitung der Differentialgleichungen der Bewegung eines starren Körpers in einer unbegrenzten Flüssigkeit; ausserdem wird angenommen, dass sowohl auf den Körper, als auf die Flüssigkeit keine Kräfte wirken. Alle constanten Schraubenbewegungen eines starren Körpers in einer Flüssigkeit werden durch Lösung der Aufgabe über das Maximum oder Minimum der lebendigen Kraft der Bewegung des starren Körpers und der Flüssigkeit erhalten, vorausgesetzt, dass entweder die Winkelgeschwindigkeit und der Schraubengang bekannt, oder dass die Werte des Vectors und des kleinsten Moments der die Bewegung hervorbringenden Impulse gegeben sind. Demnach entsprechen jedem bestimmten Werte \((\lambda)\) des Verhältnisses der Winkelgeschwindigkeit zum Vector der Impulse zwei Gruppen von Schraubenbewegungen: in einer derselben haben die Winkelgeschwindigkeit und der Vector eine Richtung, in der anderen eine entgegengesetzte. Im allgemeinen Falle enthält jede Gruppe drei Bewegungen, deren Axen zu einander senkrecht sind. Diese drei Bewegungen entsprechen den drei Wurzeln der kubischen Gleichung in \(\mu\): \[ \left|\begin{matrix}\l\quad & \l\quad & \l\\ A_{11}-\mu, & A_{12}, & A_{13} \\ A_{21}, & A_{22}-\mu, & A_{23} \\ A_{31}, & A_{32}, & A_{33}-\mu \end{matrix} \right|=0, \tag{1} \] wo die Coefficienten \(A\) in bestimmter Weise aus \(\lambda\) und den Coefficienten im Ausdrucke \(T\) der lebendigen Kraft der Bewegung des starren Körpers und der Flüssigkeit gebildet sind. Indem der Verfasser auf die in Frage stehenden Bewegungen den Satz von Routh in: ``The advanced part of a treatise on the dynamics of a system of rigid bodies''. 4th ed. (1884. p. 52, 53) anwendet, gelangt er zu folgenden Schlüssen: Von den drei constanten Schraubenbewegungen, welche bei gegebenem Werte von \(\lambda\) ein in einer Flüssigkeit sich bewegender starrer Körper haben kann (die Wurzeln der Gleichung (1) verschieden vorausgesetzt), macht die der kleinsten Wurzel \(\mu\) der Gleichung (1) entsprechende Bewegung \(T\) zu einem absoluten Minimum bei bekannten Werten des Hauptvectors \(h\) und des kleinsten Moments \(f\) der Impulse, und die Bewegung ist unbedingt stabil für alle möglichen Störungen; die Bewegung, welche der mittleren Wurzel der Gleichung (1) entspricht, kann \(T\) unter gewissen Bedingungen bei bekanntem \(h\) und \(f\) auch in ein Minimum verwandeln, doch nur in ein relatives, und die Bewegung ist zugleich unbedingt stabil für alle Verrückungen, so lange sie nicht in den Grenzfall übergeht (d. h. den, wo zwei oder drei Wurzeln der Gleichung (1) gleich werden) für Bewegungen, die \(T\) in ein Minimum verwandeln; die der grössten Wurzel der Gleichung (1) entsprechende Bewegung kann \(T\) nie zum Minimum machen. Ist aber die kleinste Wurzel der Gleichung (1) der mittleren gleich, und entsprechen dazu jedem Werte von \(\frac{f^2}{h^2}\), welcher zwischen bestimmten Grenzen liegt, nur zwei Bewegungen, so verwandelt jede von ihnen \(T\) unter denselben Bedingungen in ein absolutes Minimum, und die Bewegung ist unbedingt stabil für jede Störung. Zum Zwecke einer vollständigeren Lösung der Frage über die Stabilität der constanten Bewegungen eines Körpers in einer Flüssigkeit bildet der Verfasser dann die Differentialgleichungen der gestörten Bewegung, und indem er sich mit der ersten Annäherung begnügt, erlangt er ausser den vorigen, die Stabilität betreffenden Resultaten noch die folgenden: Die der grössten Wurzel von (1) entsprechende Bewegung ist stabil bei genügend grossem Werte von \(\lambda^2\), dagegen ist die der mittleren Wurzel entsprechende Bewegung bei genügend grossem Werte von \(\lambda^2\) labil; die Bewegung, welche folgt, wenn die grösste und die mittlere Wurzel gleich sind, ist im allgemeinen labil. In der Abhandlung werden auch einige Specialfälle discutirt.