Ueber die Berechnung der Fraunhofer'schen Beugungscheinungen durch Randintegrale mit besonderer Berücksichtigung der Theorie der Beugung im Holiometer. (Q1537365)

Die Componenten der Lichtintensität bei den Fraunhofer'schen (der Verfasser schreibt fälschlich Frauenhofer) Beugungserscheinungen sind bekanntlich den folgenden Integralen proportional: \[ C =\iint d\xi 'd\eta '\cos 2\pi (\mu \xi ' +\nu \eta '), \] \[ S =\iint d\xi 'd\eta '\sin 2\pi (\mu \xi ' +\nu \eta '). \] Die hier auftretenden Flächenintegrale, aus denen unmittelbar folgt, dass jede Fraunhofer'sche Beugungserscheinung eine Mittelpunktsfigur ist, lassen sich allgemein mittels des bekannten Analogons des Green'schen Satzes für die Ebene auf Randintegrale zurückführen. Diese, von Herrn Abbe angegebene, bisher aber noch nicht veröffentlichte, Transformation führt auf eine doppelte Form des Randintegrals, je nachdem man die Differentiation nach der Normale des Randes unter dem Integralzeichen ausführt oder dieselbe durch Hinzufügung eines entsprechende Compensationsgliedes in eine Differentiation vor dem Integralzeichen verwandelt. Eine dieser Formen lässt eine einfache Interpretation zu, wonach man die Lichtwirkung der Oeffnung durch die Lichtwirkung der Begrenzungslinie ersetzen kann. Den erwähnten beiden Abbe'schen fügt der Verfasser eine dritte Form des Randintegrals hinzu, die er durch Einführung von Polarcoordinaten statt \(\xi ', \eta ',\) Ausführung der Integration nach dem Radiusvector und darauf folgende teilweise Integration ableitet. Um die Anwendbarkeit der in Rede stehenden allgemeinen Transformationen zu zeigen, werden aus ihnen die bekannten Resultate für die Beugungsfiguren des Rechtecks, des regelmässigen \(n\)-Ecks und des Kreises abgeleitet. Sodann wendet sich der Verfasser, und diese Untersuchung umfasst den grössten Teil der Dissertation, einem Falle zu, der bisher noch keine genauere Behandlung erfahren hat, nämlich den Beugungserscheinungen für eine halbkreisförmige Oeffnung, Erscheinungen, die beim Heliometer ihre Anwendung finden. Von den Componenten \(C, S\) der Intensität des an einem Halbkreise gebeugten Lichtes ergiebt sich für \(C\) derselbe Wert wie bei einem vollen Kreise: \[ C =k.r^2\pi \;\frac {J_1(v)}{v}, \] während \[ \begin{aligned} S & =k.2r^2 \psi ,\\ \psi & =\text{tg\,} \sigma\;\frac {\sin (v\cos \sigma )}{v^2} -\int^{\sigma }_0\;\frac{\cos (v\cos \varphi )}{v}\;\cos \varphi d\varphi\\ & =\int^{\sigma }_0 \left [\frac {-\cos (v\cos \varphi )}{v\cos \varphi } +\frac {\sin (v\cos \varphi )}{v^2 {\cos }^2 \varphi }\right ]d\varphi \end{aligned} \] ist. Die hierin vorkommenden Constanten haben folgende Bedeutung. Es ist \(k\) ein constanter Factor, \(r\) der Radius des Halbkreises, \[ v =2\pi r\sqrt {{\mu }^2 +{\nu }^2}, \quad \text{tg\,}\sigma =\frac {\nu }{\mu }. \] Die Complication gegenüber dem Resultat beim Kreise besteht einmal darin, dass hier \(S\) nicht verschwindet, andererseits darin, dass \(S\) und damit die ganze Intensität nicht nur von einer Variabeln \(v\), sondern ausserdem von einer zweiten \(\sigma \) abhängt. Die hauptsächlichste noch zu erledigende Aufgabe besteht in der weiteren Behandlung der Function \(\psi \) von \(v\) und \(\sigma \). Als Function von \(v\) betrachtet, genügt \(\psi \) der Differentialgleichung \[ v\psi '' +3\psi ' +v\psi =\frac {\sin (v\cos \sigma )}{v\cos \sigma }\;\sin \sigma , \] und zwar ist \(\psi \) diejenige particuläre Lösung dieser Gleichung, welche man aus der allgemeinen Lösung dadurch erhält, dass man die darin enthaltenen willkürlichen Constanten gleich Null setzt. Daraus ergiebt sich für \(\psi \) leicht eine Reihenentwickelung nach steigenden Potenzen von \(v\), deren einzelne Coefficienten Producte aus \(\sin \sigma \) und geraden Functionen von \(\cos \sigma \) sind; die letzteren Functionen lassen sich durch einfache Recursionsformeln bestimmen. Neben dieser für alle Werte von \(v\) und \(\sigma \) gültigen Reihe wird noch eine zweite von der Form \[ \psi =A\cos (v\cos \sigma ) +B\sin (v\cos \sigma ) \] aufgestellt, wo \(A\) und \(B\) im wesentlichen Potenzreihen nach steigenden Potenzen von \(v\) sind, die für solche Werte von \(v\) und \(\sigma \) convergiren, für die \[ |v(1 -\cos \sigma )| <1 \] ist. Durch teilweise Integration des in dem ersten Ausdruck von \(\psi \) auftretenden Integrals endlich wird eine dritte semiconvergente Reihe gewonnen, die zur Berechnung von \(\psi \) für grosse Werte von \(v\) benutzt werden kann. Die gefundenen Reihen sind alle drei nicht einfach genug, um den allgemeinen Verlauf der Function \(\psi \) übersehen zu lassen, ohne dass numerische Tafeln vorlägen. Nur für kleine Werte von \(v\) und \(\sigma \) sowie für grössere Werte von \(v\) und zugleich für Werte von \(\sigma \) in der Nähe von \(\frac12 \pi \) lassen sich angenäherte Darstellungen von \(\psi \) geben. Der Verfasser schliesst aus der letzteren Darstellung, dass ein von Struve in Bezug auf die Lichtverteilung im Heliometer ausgesprochenes Resultat nicht richtig ist.