Zur Theorie des Hall'schen Phänomens. (Q1537418)

Sind \(u\) und \(v\) die Stromcomponenten in einer leitenden Platte, \(\alpha \) der Winkel, um welchen die Ströme durch die Wirkung der Magnetkraft gedreht werden, so gelten bekanntlich die Gleichungen \[ (1)\quad u +v\text{\,tg\,} \alpha =-\kappa\;\frac {dV}{dx}, \quad -u\text{\,tg\,} \alpha +v =-\kappa\;\frac {dV}{dy}, \] \[ \frac {d^2V}{dx^2} +\frac {d^2V}{dy^2} =0, \] und am Rande \(s\), welchem die Strömung parallel sein muss, \[ (2) \quad\frac {dV}{dn} \;\cos \alpha -\frac {dV}{ds}\;\sin \alpha =0, \] wo die Elemente \(ds\) und \(dn\) der Randcurve und ihrer Normale so zu einander liegen wie die \(y\)-Axe zur \(x\)-Axe. Ist nun \(z_1 =x_1 +iy_1\) die Anode resp. Kathode eines in die Platte eintretenden Stroms, \(z_2\) ihr Spiegelbild in einer beliebigen Geraden, \(m = \pm \frac {J}{2\pi \kappa {\cos }^2 \alpha },\) so wird die Gleichung \((2)\) längs der Geraden erfüllt, wenn man für \(V\) den reellen Teil nimmt von \[ U +iW =m\log (z -z_1) +me^{2ia}\log (z -z_2). \] Hiernach ergiebt sich der Wert von \(V\) für eine keilförmige Platte als die Summe der Werte von \(U\) für die successiven Spiegelbilder der Elektroden an den Winkelschenkeln. Ausser für zwei punktförmige Elektroden berechnet der Verfasser auch noch \(V\) für den Fall, wo die Kathode punktförmig ist, während die Anode durch den einen Winkelschenkel gebildet wird.