Ein Fundamentalsatz der allgemeinen Arithmetik. (Q1537851)

Die arithmetische Behandlung der algebraischen Grössen führt mit Notwendigkeit dazu, den Gauss'schen Congruenzbegriff so zu erweitern, dass ``Systeme von Moduln'' an Stelle des einfachen Congruenzmoduls zugelassen werden. Dadurch ergiebt sich zugleich der wichtige Fortschritt, dass die Untersuchung der algebraischen Grössen auf die der rationalen Functionen von Variabeln reducirt wird. Diese weittragenden Ideen sind von Herrn Kronecker zuerst in seiner ``Festschrift'' und dann in einer Reihe von Abhandlungen dargelegt und begründet worden, von denen nur die aus dem Bande IC des Journals ``Ueber einige Anwendungen der Modulsysteme auf elementare algebraische Fragen'' hervorgehoben werden möge. Ein Ziel der Untersuchungen war darin zu finden, durch die Modulsysteme die Auffassung der algebraischen als ``irrationaler'' Grössen überhaupt entbehrlich zu machen und dieselben in principieller Weise durch rationale zu ersetzen. Dieses Ziel wird durch die vorliegende Abhandlung erreicht, in welcher für jede vorgelegte ganze Function ein Primmodulsystem bestimmt wird, für welches die Function sich als Product von Linearfactoren darstellen lässt. Bedeuten \(c_1,c_2,\dots,c_n\) ganze Grössen des natürlichen Rationalitätsbereiches \((\Re',\Re'',\dots,\Re^{(n-1)})\) und setzt man \[ F(x)=x^n-c_1x^{n-1}+c_2x^{n-2}-\cdots\pm c_n; \] definirt man andererseits \({\mathfrak F}(x)\) und \(\mathfrak f_1,\dots,f_n\) durch \[ {\mathfrak F}(x)=(x-x_1)(x-x_2)\dots( x-x_n )=x^n-{\mathfrak f_1}x^{n-1}+{\mathfrak f_2}x^{n-2}-\cdots \pm{\mathfrak f}_n, \] wo \(x_1,x_2,\dots,x_n\) unbestimmte Variable bedeuten, so hat man sofort \[ F(x)\equiv ( x-x_1 )\dots( x-x_n )\equiv {\mathfrak F}(x)\quad (\text{modd.\,}{\mathfrak f_1}-c_1,{\mathfrak f_2}-c_2,\dots,{\mathfrak f}_n-c_n ); \] aber dieses Modulsystem ist kein Primmodulsystem \(n^{\mathrm ter}\) Stufe, und auf die Bestimmung eines solchen kommt es gerade an. Dieselbe wird auf zwei verschiedene Arten geliefert; als erstes Resultat folgt, dass, wenn man \[ G(z,{\mathfrak f}_1,{\mathfrak f}_2,\dots,{\mathfrak f}_n) =\varPi(z-u_ix_{i_1}-u_2x_{i_2}-\cdots - u_nx_{i_n}) \] setzt, jeder irreductible Factor der Galois'schen Function \(G(z, c_1, \dots, c_n)\) einen Primmodul der verlangten Eigenschaft liefert; als zweites Resultat ergiebt sich, dass das Primmodulsystem \[ ({\mathfrak f_1}-c_1,\dots,{\mathfrak f}_n-c_n; {\mathfrak g'}-c',{\mathfrak g''}-c'',\dots ) \] dasselbe leistet, falls \({\mathfrak g'},{\mathfrak g''},\dots\) ein Fundamentalsystem der Affect-Gattung bilden und diese Functionen die rationalen Werte \(c', c'', \dots\) annehmen. Durch Verwendung solcher Modulsysteme wird die Einführung der algebraischen Grössen überall da entbehrlich gemacht, wo nicht die Isolirung der verschiedenen Wurzeln einer irreductibeln Gleichung erfordert wird, so dass in der arithmetischen Theorie der zerlegbaren Formen auf Grund dieses Fundamentalsatzes nirgends der absolute Rationalitätsbereich der natürlichen Zahlen verlassen zu werden braucht.