Ueber ganzzahlige Lösungen von Gleichungen zwischen zwei Veränderlichen. (Q1537871)

Herr Runge leitet den folgenden Satz ab: Eine irreductible Gleichung \(f(x, y) = 0\) kann nur dann durch unendlich viele ganzzahlige Wertepaare \(x, y\) befriedigt werden, wenn sie folgende Eigenschaften hat: 1. Die höchsten Potenzen von \(x\) und \(y\), welche in \(f(x, y)\) vorkommen, müssen isolirten Gliedern \(ax^m\) und \(by^n\) angehören. 2. Die durch die Gleichung \(f(x, y)=0\) definirte algebraische Function \(y\) muss gegen \(x\) von der Ordnung \(x^{m:n}\) unendlich werden. Kommen \(x^\varrho\) und \(y^\sigma\) in \(f(x, y)\) mit einander multiplicirt vor, so muss \(n\varrho+m\sigma\leqq mn\) sein. 3. Die Summe der Glieder, für welche \(n\varrho+m\sigma\leqq mn\) ist, muss sich in der Form \(b\prod_\beta(y^\lambda-d^{(\beta)} x^\mu)\) für \(\beta = 1, 2, \dots,n/\lambda\) darstellen lassen, wo \(\prod_\beta(u - d^{(\beta)})\) die Potenz einer irreductiblen ganzen Function von \(n\) ist. Aber, obwohl notwendig, so sind doch die angegebenen Merkmale noch nicht hinreichend für die verlangte Eigenschaft der Function \(f(x, y) = 0\).