On the so-called Tschirnhausen Transformation. (Q1537881)

Die Arbeit knüpft an einen im Jahre 1837 erschienenen Aufsatz von W. R. Hamilton an, in welchem derselbe die Jerrard'sche Methode der Gleichungstransformationen eingehend untersucht. Die Grundaufgabe ist dabei die folgende: Es sind \(h_1\) homogene Gleichungen ersten, \(h_2\) homogene Gleichungen zweiten, \(\dots,h_t\) homogene Gleichungen \(t^{\mathrm ten}\) Grades zwischen \(m\) Grössen \(a_1, a_2, \dots, a_m\) gegeben; die Verhältnisse dieser \(m\) Grössen sollen bestimmt werden, ohne dass bei der Elimination Graderhöhungen eintreten; welches ist die untere Grenze für \(m\), bei der die Aufgabe lösbar ist? Die Aufgabe wird so behandelt, dass jedes \(a_\lambda=a_\lambda'+a_\lambda^{\prime\prime}\) gesetzt, und das neue Gleichungssystem in andere zerlegt wird, deren eines die Verhältnisse der \(a'\), das andere die der \(a''\) zu einander bestimmt, während das dritte aus einer Gleichung \(t^{\mathrm ten}\) Grades besteht, welche das Verhältnis \(a_1': a_1^{\prime\prime}\) liefert. Die beiden ersten Systeme enthalten je eine Gleichung höchsten Grades weniger als das vorgelegte; in dieser Art fährt man fort, bis man zu Systemen kommt, die ausser Gleichungen ersten Grades nur eine einzige Gleichung höheren Grades enthalten, und die Anzahl der Variabeln muss gross genug sein, alle diese durch Werte zu befriedigen, die nicht sämtlich verschwinden. Diese Methode benutzt Herr Sylvester, um eine ``Zerstörungsformel'' aufzustellen: bezeichnet \([h_t,h_{t-1},\dots,h_1]\) die Anzahl der notwendigen Variabeln \(a\), so findet er \[ [h_t,h_{t-1},\dots,h_1]=[h_t-1, h_t+h_{t-1}+h_{t-2},\dots h_t+h_{t-1}+\cdots +h_2+h_1]+1; \] und diese bildet die Grundlage zur Aufstellung des ``Zerstörungsdreiecks'', welches auf die gesuchte Zahl führt. Durch diese zu Grunde gelegte Methode wird aber das Resultat beeinflusst; lässt man bei der Zerlegung der Systeme auch solche zu, in denen nicht nur Gleichungen ersten Grades mit einer einzigen Gleichung höheren Grades combinirt werden, sondern alle, bei denen die Elimination nicht auf Gleichungen von höherem als dem \(t^{\mathrm ten}\) Grade führt, dann wird die Zahl der notwendigen Variabeln geringer. Die Anwendung dieser Untersuchungen auf die Bring-Tschirnhausen'sche Transformation von Gleichungen ist bekannt. Bring wird von Herrn Sylvester als derjenige nachgewiesen, der zuerst jene Transformation angab. Den Beginn der Abhandlung bildet der Nachweis dafür, dass bei der Anwendung der Methode auf die Umformung der Gleichung \(5^{\mathrm ten}\) Grades in \(z^5 + az + b = 0\) die zurückbleibenden Coefficienten nur dann reell werden können, wenn höchstens eine Wurzel der Gleichung reell ist.