On Cauchy's second proof of the convergence of Fourier series and a related older method of Poisson (Q1537980)

Nach dem Vorgange Dirichlet's und Riemann's werden in den historischen Darstellungen der Theorie der Fourier'schen Reihen gewöhnlich die umfassenden Versuche Poisson's, welche sich auf die Convergenz der Reihen mit trigonometrischen Functionen und mit Cylinderfunctionen beziehen (Journal de l'Ecole Polytechnique vom Jahre 1823; XII. Cah. XIX.), nicht erwähnt; ebenso wenig wird einer ausführlichen Abhandlung Cauchy's gedacht, welche die Theorie der Residuenrechnung schliesst (Exercices de Math. II. 1827. 341-376; Oeuvres (2) VII. 345 ff.) und einen neuen Beweis für die Convergenz der Fourier'schen Reihe enthält. Von einer Priorität kann wegen Mangels an Strenge bei beiden Autoren keine Rede sein. Trotzdem sind diese Arbeiten von Interesse; es handelt sich in ihnen nicht bloss um die gewöhliche Reihe, welche nach ganzzahligen Vielfachen des Argumentes fortschreitet; sondern es werden auch die Reihen in Betracht gezogen, bei welchen die Parameter von den Wurzeln irgend einer vorgeschriebenen transcendenten Gleichung abhängen. Der Beweis Cauchy's lässt sich nun -- und dies geschieht im ersten Abschnitt der Harnack'schen Arbeit -- vervollständigen; man hat zu diesem Zwecke nur die Voraussetzungen über die Beschaffenheit der darzustellenden Function zu betonen, unter welchen gewisse Umformungen bestimmter Integrale, die bei Cauchy vorkommen, allein und überdies in etwas anderer Form als dort zulässig werden. Im zweiten Abschnitt wird gezeigt, dass in den von Cauchy behandelten Beispielen die Convergenz der Reihen immer auf der Convergenz des bekannten Dirichlet'schen Integrales beruht, so dass ebenso, wie für die gewöhnliche Fourier'sche Reihe, diese Bedingung die notwendige und hinreichende auch bei den allgemeinen Reihen dieser Art ist. Im dritten Abschnitt wird gezeigt, dass die von Poisson angegebene Methode im Grunde nichts anderes als eine Residuenrechnung ist.