Sur la convergence des intégrales à limites infinies. (Q1538070)

Es wird durch Beispiele die Möglichkeit bewiesen, dass \(\int_a^\infty f(x)dx\) convergirt, wenn \(f(x)\) bei unbegrenztem Wachsen von \(x\) nicht aufhört, endlich und unbegrenzt wachsende Werte für einzelne \(x\) zu erlangen. Die Beispiele sind: \[ f(x)=(\sin^2\pi x)^2,(sin^2\pi x)^{\varphi(x)},\psi(x)(\sin^2\pi x)^{\varphi(x)}. \] Im ersten Falle divergirt das Integral; im zweiten convergirt es, wenn für \(x=\infty\) \[ \text{(3)}\quad \lim\;\frac{\varphi(x)}{\varphi(x+1)}<1 \] ist, z. B. wenn \(\varphi(x)=\varGamma(x)\), \(x^k\) \((k>2)\); im dritten convergirt es, wenn die Bedingung (3) erfüllt ist, und \(\int_0^1\psi(n+x)^2dx\) für keine ganze Zahl \(n\) eine constante Grenze übersteigen kann, z. B. für \(\psi(x)=\log\cos^2\pi x\), wo \(f(x)\) nicht aufhört, unendliche Werte zu passiren, während im zweiten Falle \(f(x)\overset{=}<1\) bleibt.