Note on certain difference equations which possess an unique integral. (Q1538114)

Eine Differenzengleichung sei in Gliedern der Argumente \(u_x,u_{x+1},\dots,u_{x+i}\) ausgedrückt; die Grade, mit welchen \(u_{x+i}\) und \(u_x\) in die Gleichung eingehen, mögen der obere und der untere Grad heissen. Diese Integrale sind es, welche mehr als der Gesamtgrad der ganzen Gleichung den wesentlichen Charakter der Lösung bestimmen. Ist \(m\) der obere Grad, und sind \(u_0,u_1,\dots,u_{i-1}\) gegeben, so hat \(u_x\) für jeden über \(i-1\) hinausgehenden Wert von \(x\) offenbar \(m^{x-i+1}\) Werte, und demgemäss giebt es im allgemeinen unendlich viele Integrale, sei es vollständige, sei es solche von einer gegebenen Ordnung der Deficienz (deficiency), indem die Deficienz nach der Anzahl der die Anfangswerte \(u_0,u_1,\dots,u_{i-1}\) verbindenden Beziehungen geschätzt wird. Es ist jedoch in manchen Fällen möglich, ein Integral anzugeben, welches \(m^{x-i+1}\) Werte haben muss, und in einem solchen Falle kann kein anderes Integral vorhanden sein; ein solches Integral kann ein ``einziges'' (unique) oder ein ``erschöpfendes'' (exhaustive) genannt werden, und die Gleichungen, welche solche Integrale besitzen, können ``einlösig'' (unisolutional) heissen. Als das einfachste Beispiel einer solchen Gleichung nehme man \(u_{x+1}^m-u_x^n=0\), worin \(m\) und \(n\) ganze Zahlen sind. Augenscheinlich ist \(u_x=\alpha^{\left(\frac mn\right)^x}\) eine Lösung, und dies ist eine und alleinige vollständige Integral der Gleichung; denn es besitzt \(m^x\) Werte, so dass es keine anderen Integrale irgend welcher Art geben kann. In der gegenwärtigen Arbeit erforscht der Verfasser die Bildungsweise einlösiger Gleichungen zweiter Ordnung. Er betrachtet auch einlösige simultane Gleichungen.