Sulla variazione di un integrale definito e sulla teoria delle equazioni alle derivate del primo ordine. (Q1538146)

Die bekannte Formel für die Variation der Hamilton'schen charakteristischen Function wird auf einfache Weise hergeleitet, indem für die Variation des einfachen Integrals \[ U=\int_{x_0}^{x_1}V(x,y,y')dx \] mit veränderlichen Grenzen der folgende Ausdruck zu Grunde gelegt wird: \[ \delta U=\int_{x_0}^{x_1}\left(\frac{\partial V}{\partial y}\;\delta y+\frac{ \partial V}{\partial y'}\;\delta y'\right)\cdot dx+[V\delta x]_{x_0}^{x_1}. \] Hieraus wird dann weiter der Jacobi'sche Satz, dass die partielle Differentialgleichung erster Ordnung für die charakteristische Function ein vollständiges Integral besitzt, welches sich vermittelst eines gewissen bestimmten Integrals berechnen lässt, nachdem man die kanonischen Bewegungsgleichungen integrirt hat, abgeleitet mit der von Herrn Mayer (Math. Ann. III. 435-452; F. d. M. III. 1871. 171, JFM 03.0171.01) gegebenen Modification. Zu letzterem Zwecke geht der Verfasser in der natürlichen Weise vor, dass er zu dem ursprünglichen bestimmten Integral zunächst eine willkürliche Function der Integrationsconstante hinzufügt und sich die Aufgabe stellt, dieselbe so zu bestimmen, dass auch diese Summe eine vollständige Lösung der partiellen Differentialgleichung erster Ordnung darstelle; es ergiebt sich dann genau dieselbe Form, welche Herr Mayer aufgestellt und a posteriori bewiesen hat. -- Im Anschluss an ein Beispiel werden dann noch die Aufgaben gelöst, aus einer von zwei gegebenen vollständigen Lösungen einer partiellen Differentialgleichung erster Ordnung die andere, und aus einer allgemeinen Lösung eine gegebene vollständige Lösung herzuleiten.