On the theory of the complex numbers constructed with \(n\) principal units. (Q1538165)

Der Verfasser betrachtet die Theorie der complexen Zahlen von einem neuen Gesichtspunkte aus, indem er dieselbe mit Lie's Theorie der Transformationsgruppen in Zusammenhang bringt. Sieht man die Componenten einer \(n\)-gliedrigen complexen Zahl als Coordinaten eines Punktes im Raume von \(n\) Dimensionen an, so bedeutet eine Verknüpfung (Addition, Multiplication) zweier complexen Zahlen eine Vorschrift, welche aus zwei Punkten \(a,b\) jenes Raumes einen dritten \(c\) ableiten lehrt. Hält man von den beiden Punkten den einen \(a\) fest, während der andere \(b\) als veränderlich angesehen wird, so entspricht jeder Lage von \(b\) eine bestimmte Lage von \(c\). Man erhält auf diese Weise eine Transformation des Raumes, und den verschiedenen Lagen von \(a\) entsprechend entsteht eine \(n\)-fach unendliche Schar von solchen Transformationen. Unter der Annahme, dass diese Transformationen analytisch seien, gilt nun der Satz: Wenn die Transformations-Schar die identische Transformation enthält und sowohl dem associativen, wie dem commutativen Gesetze folgt, so lässt sich dieselbe durch Einführung von neuen Veränderlichen in eine Schar von Transformationen überführen. Nach Ableitung dieses Satzes betrachtet der Verfasser diejenigen Transformations-Scharen, welche mit der Schar der Translationen durch das distributive Gesetz verknüpft sind. Die Bestimmung dieser Scharen wird auf die Aufstellung gewisser Systeme von Constanten zurückgeführt.