On a generalization of the Eulerian functions. (Q1538210)

Es werden die Eigenschaften der Function \[ (-1)^z\varphi^{(z)}(x)=\int_0^x\frac{\chi(t)t^ze^{-xt}dt}{\prod_{\nu=1}^{\nu=m}(1-e^{\alpha_\nu t})} \] untersucht, wo \(z\) eine ganze Zahl \(\overset{=}>m\), \[ \chi(t)=\sum_{n=0}^\infty\;\frac{k_nt^n}{n!} \] und \(\alpha_\nu\) Constanten sind, deren reeller Teil positiv ist. Man kann sie durch die Reihe \[ \varphi^{(z)}(x)=\sum f^{(z)}(x+w);w=\sum\lambda_\nu\alpha_\nu \] darstellen, wo \[ (1-)^zf^{(z)}(x)=\int_0^\infty\chi(t)t^ze^{-xt}dt \] ist. Sie genügt der Functionalgleichung: \[ \varphi^{(z)}(x)-\sum_\nu\varphi^{(z)}(x+\alpha_\nu)+\sum_{\mu,\nu} \varphi^{(z)}(x+\alpha_\mu+\alpha_\nu)-\cdots+ (-1)^m\varphi^{(z)}(x+\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+\cdots+\alpha_m) =f^{(z)}(x). \] Für \(\chi(t)=1\) geht \(\varphi^{(z)}(x)\) in eine Function \(\psi^{(z)}(x)\) über, welche das Multiplicationstheorem hat: \[ \psi^{(z)}(nx)=\frac1{n^{z+1}}\,\sum\psi^{(z)}\left(x+\frac{\lambda_1\alpha_1}n +\frac{\lambda_2\alpha_2}n+\cdots+\frac{\lambda_m\alpha_m}n\right), \] wo alle \(\lambda\) von 0 bis \(n-1\) variiren. Die \(\varphi^{(z)}(x)\) lassen sich in Reihen nach den Derivirten von \(\psi^{(z)}(x)\) entwickeln. Es folgen noch einige Beziehungen zu Sätzen von Mittag-Leffler, Hermite und Appell.