On the pseudoelliptic integrals. (Q1538230)

Pseudo-elliptische Integrale sind von Malet (nicht, wie der Verfasser meint, von S. Günther) solche Integrale genannt, die die Form elliptischer Integrale \[ \int f(x,\sqrt{R(x)})dx \] haben, sich aber auf algebraische oder logarithmische Functionen zurückführen lassen (s. F. d. M. 1882. XIV. 377, JFM 14.0377.01). Einzelne derselben sind verschiedentlich untersucht worden. Abel suchte alle Differentiale von der Form \(Ldx:\sqrt X\) (wo \(L\) und \(X\) ganze Functionen von \(x\)), deren Integrale auf eine Function von der Form \(\log\frac{P-\sqrt X}{P+\sqrt X}\) zurückführbar sind (Oeuvres, \(2^{\text{e}}\) éd. I. 104). Halphen giebt hier eine Methode, nach der alle pseudo-elliptischen Integrale \(\int\frac{Ldx}{\sqrt X}\) gewonnen werden können; er beschränkt sich zwar auf den Fall, wo \(X\) vom dritten oder vierten Grade ist, doch gilt seine Methode auch allgemein. Ausser der in der Lösung von Abel auftretenden Kettenbruchentwickelung nach fallenden Potenzen wird hier die folgende nach steigenden Potenzen: \[ \frac{\sqrt X-\sqrt Y}{x-y}=\alpha_1+\frac{\beta_1(x-\xi)^2}{\alpha_2+\frac{ \beta_2(x-\xi)^2}{\alpha_3+\cdots,}} \] wo die \(\alpha\) vom ersten Grade in \(x\) sind, betrachtet. Eine Reduction erfährt nun zunächst das Problem durch den Satz: ``Ist \(R\) eine rationale Function von \(x\) und \(X\) ein Polynom vierten (oder dritten) Grades, so kann man eine rationale Function \(Q\) finden, so dass die Differenz \[ L=R-\sqrt X\,\frac d{dx}\,(Q\sqrt X), \] die ebenfalls rational ist, im Nenner nur einfache und von denen des \(X\) verschiedene Wurzeln hat, und dass der Grad des Zählers den des Nenners höchstens um zwei übersteigt.'' Damit nun das Integral \(L:\sqrt X\) ein pseudo-elliptisches sei, ist es notwendig, dass der Grad des Zählers von \(L\) den des Nenners höchstens um eine Einheit übersteigt, und dass \(L\), in einfache Brüche zerlegt, die Form \[ L=\frac{n_1\sqrt{X_1}}{x-x_1}+\frac{n_2\sqrt{X_2}}{x-2_2}+\cdots+n\sqrt{a_0}x +K \] hat, wo die \(n_1,n_2,\dots,n\) ganze Zahlen, \(X_p\) das Polynom \(X\) für \(x=x_p\) und \(K\) eine Constante bedeuten. Aber diese Bedingungen sind nicht hinreichend. Es müssen noch die Grössen \(x_1,x_2,\dots\) und \(K\) zwei Bedingungen genügen, welche die Theorie der elliptischen Functionen leicht ergiebt, und die hier in rein algebraische Form gekleidet werden.