On the transformation of the elliptic integral of the second kind. (Q1538244)

Sind \(G,A\) und \(R\) ganze Functionen von \(x\), haben \(A\) und \(R\) nur einfache Factoren, und sind sie relativ prim unter sich, so gilt die Formel \[ \int\frac{Gdx}{A^2\sqrt R}=\frac{Q\sqrt R}A+\int\frac{Q_1dx}{A\sqrt R}, \] die leicht aus einer allgemeineren Form in des Verfassers Cours d'Analyse de la Faculté des Sciences de Paris, \(3^{\text{e}}\) éd., p. 28 folgt. Diese Formel wird auf das elliptische Integral \[ \int\frac{\lambda^2y^2dy}{\sqrt{(1-y^2)(1-\lambda^2y^2)}} \] angewandt, wo \(y=\frac UV\) die Jacobi'sche Transformationsformel ist, die der Gleichung \[ \frac{dy}{\sqrt{(1-y^2)(1-\lambda^2y^2)}}=\frac1M\;\frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}} \] genügt. Man erhält \[ \int\frac{\lambda^2U^2dx}{V^2\sqrt R}=\frac{Q\sqrt R}V+\int\frac{Q_1dx}{V \sqrt R}, \] und es lässt sich zeigen, dass \(Q_1\) durch \(V\) teilbar ist, dass also das zweite Glied keine Integrale dritter Gattung mit logarithmischen Unendlichen enthält. Als Resultat der Transformation ergiebt sich \[ \int\;\frac{\lambda^2U^2dx}{V^2\sqrt R}=-\frac{M^2V'\sqrt R}V+M^2\int\;\frac{(nk^2x^2+2B')dx}{\sqrt R}, \] aus der die Jacobi'sche Formel \[ \frac1M\int\frac{\lambda^2y^2dy}{\sqrt{(1-y^2)(1-\lambda^2y^2)}} =-\frac{V'\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}V+\int\frac{(nk^2x^2+2B')dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}} \] folgt. Nachdem die Teilbarkeit der Function \(Q_1\) durch \(V\) rein algebraisch gezeigt worden ist, werden einige interessante Folgerungen gegeben, unter anderem die Relationen: \[ \begin{aligned} & 4RU'V'-U(2RV''+R'V')\equiv0\,(\text{mod.}\,V),\\ & 4RU'V'-V(2RU''+R'U')\equiv0\,(\text{mod.}\,U). \end{aligned} \]