On \(\kappa\lambda-\kappa'\lambda'\) modular equations. (Q1538246)

Es wird eine allgemeine Methode gegeben, die Modulargleichungen für einen beliebigen Primzahlgrad der Transformation zu erhalten. Wenn \(q=e^{-\pi\frac{K'}K}\), so ist für \(\omega=\frac{iK'}K\) \[ \psi(\omega)=\root4\of{\kappa'}=\frac{1-2q+2q^4-2q^9+\cdots}{1-2q^2+2q^8-2q^{18}+\cdots} \] und \[ \varphi(\omega)=\root4\of\kappa=\sqrt2\root8\of q\;\frac{1-q-q^3+q^6+q^{16}-\cdots}{1-2q^2+2q^8-2q^{18}+\cdots}\,, \] oder, wenn man nach Potenzen von \(q\) entwickelt, \[ \varphi(\omega)=\root4\of\kappa\sqrt2\root8\of q(1-q+2q^2-3q^3+4q^4-6q^5+9q^6-12q^7+16q^8-22q^9+\cdots), \] \[ \psi(\omega)=\root4\of{\kappa'}=1-2q+2q^2-4q^3+6q^4-8q^5+12q^6-16q^7 +22q^8-30q^9+\cdots. \] Diese Entwickelungen werden benutzt, um die Modulargleichungen für jede Primzahl \(n\) abzuleiten. Um die Relationen zwischen \(\root4\of{\kappa\lambda}\) und \(\root4\of{\kappa'\lambda'}\), wo \(\lambda=\frac{2\sqrt\kappa}{1+\kappa}\), \(\lambda'=\frac{1-\kappa}{1+\kappa}\), \(\kappa'\lambda=2\sqrt\kappa\,\lambda'\), für \(y=\frac{(1+\kappa)x}{1+\kappa x^2}\), zu finden, muss man \(q\) zwischen den Gleichungen \[ \begin{aligned} & \root4\of{\kappa\lambda}=2q^{\frac{n+1}8}(1-q+2q^2-3q^3+\cdots)(1-q^n+2q^{2n}-3q^{3n}+\cdots),\\ & \root4\of{\kappa'\lambda'}=(1-2q+2q^2-4q^3+6q^4+\cdots)(1-2q^n+2q^{2n}-4q^{3n}+\cdots)\end{aligned} \] eliminiren. Dies geschieht durch Bestimmung der Form der Gleichung zwischen \(x=(\root4\of{\kappa\lambda})^s\) und \(y=(\root4\of{\kappa'\lambda'})^2\). Er ist z. B. für \(n=1,x=\kappa\lambda\), \(y=\kappa'\lambda'\), \(P=x+y-1\), \(Q=xy-x-y,R=-xy\) die Modulargleichung \[ P=0; \] für \(n=3\), \(x=\sqrt{\kappa\lambda}\), \(y=\sqrt{\kappa'\lambda'}\), und die Modulargleichung \[ P=0; \] für \(n=5\), \(x=\kappa\lambda\), \(y=\kappa'\lambda'\), und die Modulargleichung \[ P^3-32R=0,\quad \kappa\lambda+\kappa'\lambda'+2\root3\of{4\kappa\lambda \kappa'\lambda'}=1; \] für \(n=7\), \(x=\root4\of{\kappa\lambda}\), \(y=\root4\of{\kappa'\lambda'}\), und die Modulargleichung \[ P=0; \] für \(n=11\), \(x=\sqrt{\kappa\lambda}\), \(y=\sqrt{\kappa'\lambda'}\), und die Modulargleichung \[ P^3-16R=0,\quad \sqrt{\kappa\lambda}+\sqrt{\kappa'\lambda'}+2\root6\of{4 \kappa\lambda\kappa'\lambda'}=1; \] für \(n=23\), \(x=\root4\of{\kappa\lambda}\), \(y=\root4\of{\kappa'\lambda'}\), und die Modulargleichung \[ P^3-4R=0,\quad \root4\of{\kappa\lambda}+\root4\of{\kappa'\lambda'}+\root3\of4 \root4\of{\kappa\lambda\kappa'\lambda'}=1. \] Der Herr Verfasser behandelt ausser den angegebenen Beispielen die Fälle \(n=13,17,19,31\) und \(47\).