The partial differential equations of the hyperelliptic theta functions. (Q1538266)

Der Herr Verfasser hat im IC. Bande des Journals für reine und angewandte Mathematik (dieses Jahrbuch XVII. 1885. 480, JFM 17.0480.01) Differentialgleichungen entwickelt, welche zwischen den partiellen Derivirten der hyperelliptischen Thetafunctionen nach den Argumenten und nach den Parametern bestehen, und hat später im XXIX. Bande der Mathematischen Annalen (dieses Jahrbuch XIX. 1887. 489, JFM 19.0489.02) diese Differentialgleichungen für den einfachsten Fall \(\varrho=2\) so umgeformt, dass die sämtlichen darin vorkommenden Ausdrücke mit der Invariantentheorie in engster Verbindung stehen. Die Aufgabe der ersten (siehe JFM 20.0487.01) der beiden vorliegenden Abhandlungen ist, die entsprechende Form der Differentialgleichungen für die hyperelliptischen Thetafunctionen von \(\varrho\) Argumenten auf directem Wege herzustellen. Zu dem Ende werden von dem Herrn Verfasser zunächst Differentialgleichungen abgeleitet, welche zwischen den partiellen Derivirten der Perioden der Normalintegrale erster und zweiter Gattung nach den in der Definitionsgleichung des hyperelliptischen Gebildes \(y^2=\sum_\kappa\binom{2\varrho+2}\kappa A_\kappa x^\kappa\) vorkommenden Coefficienten \(A_\kappa\) bestehen (Gleichungen \(A,B,C,D\) der \S\S2 und 3), und es werden dann mit ihrer Hülfe die Differentialgleichungen der Thetafunctionen selbst (Gleichungen \(E\) und \(F\) oder in anderer Form \(E_1\) und \(F_1\) des \S4) abgeleitet. Die letzte Gruppe von Differentialgleichungen (Gleichungen \(F\) oder \(F_1\)) noch auf einem etwas anderen Wege herzustellen, ist die Aufgabe der zweiten Abhandlung. Dabei wird zunächst in den ersten vier Paragraphen die Form und Beschaffenheit dieser Differentialgleichungen, soweit es möglich ist, auf Grund der Invarianteneigenschaft der Thetafunctionen ohne Rechnung festgestellt. Es bleiben dann noch zwei Covarianten zu bestimmen übrig, deren Ausdrücke im fünften Paragraphen durch Rechnung ermittelt werden.